与えられた行列の逆行列を求めます。 (1) 2x2行列、(2) 3x3行列、(3) 3x3行列の3つの問題があります。

代数学線形代数行列逆行列掃き出し法
2025/7/12

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求めます。
(1) 2x2行列、(2) 3x3行列、(3) 3x3行列の3つの問題があります。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列 A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} の逆行列は、行列式 det(A)=adbcdet(A) = ad - bc が0でないとき、次のように計算されます。
A1=1adbc(dbca)A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
(2) 3x3行列の逆行列は、掃き出し法を用いるか、余因子行列を利用して求めます。ここでは掃き出し法で解きます。行列 AA の右側に単位行列を並べた拡大行列を作り、基本変形を行って、左側を単位行列に変形します。変形後の右側が AA の逆行列となります。
(3) も同様に掃き出し法で逆行列を求めます。
(1) の場合:
A=(2549)A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}
det(A)=2954=1820=2det(A) = 2 \cdot 9 - 5 \cdot 4 = 18 - 20 = -2
A1=12(9542)=(9/25/221)A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
(2) の場合:
A=(100210121)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
(100100210010121001)R22R1(100100010210121001)R3+R1(100100010210021101)R32R2(100100010210001521)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 &|& 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& -2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 &|& 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 &|& -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}
(3) の場合:
A=(122231231)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}
(122100231010231001)R2+2R1,R32R1(122100015210013201)R3+R2(122100015210002011)R3/2(12210001521000101/21/2)R25R3,R12R3(12011101023/25/200101/21/2)R12R2(10032401023/25/200101/21/2)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 &|& 1 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 + 2R_1, R_3 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 &|& 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 &|& -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 &|& 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 &|& 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3/2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 &|& 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 5R_3, R_1 - 2R_3} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 &|& 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 &|& 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 0 & 1 &|& 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& -3 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 0 &|& 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 0 & 1 &|& 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1) (9/25/221)\begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}
(2) (100210521)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}
(3) (32423/25/201/21/2)\begin{pmatrix} -3 & 2 & 4 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

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