数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ があり、$(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n = a_n + \sqrt{3}b_n$ で定義される。$a_{n+1} = Aa_n + Bb_n$, $b_{n+1} = Ca_n + Db_n$ と表されるとき、$A+B+C+D$ の値と $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n a_i$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ があり、$(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n = a_n + \sqrt{3}b_n$ で定義される。$a_{n+1} = Aa_n + Bb_n$, $b_{n+1} = Ca_n + Db_n$ と表されるとき、$A+B+C+D$ の値と $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n a_i$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^{n+1} = (\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n (\frac{1+5\sqrt{3}}{10})$ であるから、

$a_{n+1} + \sqrt{3}b_{n+1} = (a_n + \sqrt{3}b_n) (\frac{1+5\sqrt{3}}{10})$

$a_{n+1} + \sqrt{3}b_{n+1} = \frac{a_n + 5\sqrt{3}a_n + \sqrt{3}b_n + 15b_n}{10}$

$a_{n+1} + \sqrt{3}b_{n+1} = \frac{a_n + 15b_n}{10} + \sqrt{3} \frac{5a_n + b_n}{10}$

よって、

$a_{n+1} = \frac{1}{10}a_n + \frac{15}{10}b_n$

$b_{n+1} = \frac{5}{10}a_n + \frac{1}{10}b_n$

したがって、$A=\frac{1}{10}, B=\frac{15}{10}, C=\frac{5}{10}, D=\frac{1}{10}$ となる。

$A+B+C+D = \frac{1}{10} + \frac{15}{10} + \frac{5}{10} + \frac{1}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$

次に、$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n a_i$ を求める。

$r = \frac{1+5\sqrt{3}}{10}$ とおくと、 $|r| = \frac{1+5\sqrt{3}}{10} > 1$ である。

$a_n + \sqrt{3}b_n = r^n$ より、 $a_n = \frac{r^n + \bar{r}^n}{2}$ であり、$a_n$ は実数である。$\bar{r} = \frac{1-5\sqrt{3}}{10}$

$\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n \frac{r^i + \bar{r}^i}{2} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n r^i + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \bar{r}^i$

$\sum_{i=1}^n r^i = \frac{r(1-r^n)}{1-r}$ であり、$\sum_{i=1}^n \bar{r}^i = \frac{\bar{r}(1-\bar{r}^n)}{1-\bar{r}}$

$r = \frac{1+5\sqrt{3}}{10}$ より、 $|r| > 1$ なので $\lim_{n \to \infty} r^n = \infty$。$\bar{r} = \frac{1-5\sqrt{3}}{10}$ より、 $|\bar{r}| < 1$ なので $\lim_{n \to \infty} \bar{r}^n = 0$。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n a_i = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (\frac{r(1-r^n)}{1-r} + \frac{\bar{r}(1-\bar{r}^n)}{1-\bar{r}}) = \infty$

しかし、$\sum a_i$ は収束する場合がある。$a_1 = \frac{1+5\sqrt{3}}{10}$。

$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n a_i = \frac{a_1}{1-A}$ が成り立つためには、 $|A|<1$ である必要がある。

$\frac{1-r^n}{1-r} = \frac{1-(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n}{1-\frac{1+5\sqrt{3}}{10}} = \frac{1-(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n}{\frac{9-5\sqrt{3}}{10}} = \frac{10(1-(\frac{1+5\sqrt{3}}{10})^n)}{9-5\sqrt{3}}$

したがって、$\sum_{i=1}^\infty a_i$ は発散する。

$a_1 = \frac{1+5\sqrt{3}}{10}, b_1 = 1$

$\frac{1}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1+5\sqrt{3}}{10}} = \frac{10}{9-5\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$A+B+C+D = \frac{11}{5}$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n a_i = \infty$ (発散)

$\infty$