与えられた行列の逆行列を求めます。ここでは、2x2行列と3x3行列の2つの行列の逆行列を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求めます。ここでは、2x2行列と3x3行列の2つの行列の逆行列を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) 2x2行列の場合：

与えられた行列を $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$ とします。

まず、行列式を計算します。

$det(A) = (2)(9) - (5)(4) = 18 - 20 = -2$

次に、逆行列を計算します。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

ここで、$a = 2$, $b = 5$, $c = 4$, $d = 9$ です。

$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(2) 3x3行列の場合：

与えられた行列を $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ とします。

まず、行列式を計算します。

$det(B) = 1 \cdot (1\cdot1 - 0\cdot2) - 0 \cdot (2\cdot1 - 0\cdot(-1)) + 0 \cdot (2\cdot2 - 1\cdot(-1)) = 1 \cdot (1 - 0) - 0 + 0 = 1$

次に、余因子行列を求めます。

$C_{11} = 1\cdot1 - 0\cdot2 = 1$

$C_{12} = -(2\cdot1 - 0\cdot(-1)) = -2$

$C_{13} = 2\cdot2 - 1\cdot(-1) = 4+1 = 5$

$C_{21} = -(0\cdot1 - 0\cdot2) = 0$

$C_{22} = 1\cdot1 - 0\cdot(-1) = 1$

$C_{23} = -(1\cdot2 - 0\cdot(-1)) = -2$

$C_{31} = 0\cdot0 - 1\cdot0 = 0$

$C_{32} = -(1\cdot0 - 0\cdot2) = 0$

$C_{33} = 1\cdot1 - 0\cdot2 = 1$

余因子行列は次の通りです。

$C = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

転置行列を求めます。

$C^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

逆行列は次の通りです。

$B^{-1} = \frac{1}{det(B)} C^T = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} -9/2 & 5/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix}$