与えられた式 $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 + ax^2 - x^2 - a$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を適切にグループ化します。

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = (x^3 - x^2) + (ax^2 - a)$

次に、各グループから共通因子をくくり出します。

$x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$

$ax^2 - a = a(x^2 - 1)$

したがって、

$x^3 + ax^2 - x^2 - a = x^2(x - 1) + a(x^2 - 1)$

$x^2 - 1$ は平方の差であるため、$(x + 1)(x - 1)$ と因数分解できます。

したがって、

$x^2(x - 1) + a(x^2 - 1) = x^2(x - 1) + a(x + 1)(x - 1)$

ここで、式全体から共通因子 $(x - 1)$ をくくり出します。

$x^2(x - 1) + a(x + 1)(x - 1) = (x - 1)(x^2 + a(x + 1))$

最後に、$x^2 + a(x + 1)$ を展開して整理します。

$(x - 1)(x^2 + ax + a)$

3. 最終的な答え

$(x - 1)(x^2 + ax + a)$