与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\

-1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & -1 & -1

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて行列を簡略化します。

* 第2行から第1行を引く (R2 -> R2 - R1):

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\

-1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & -1 & -1

\end{vmatrix}$

* 第3行から第1行を引く (R3 -> R3 - R1):

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

-1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 1 & 1 & -1 & -1

\end{vmatrix}$

* 第4行に第1行を加える (R4 -> R4 + R1):

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

1 & 1 & 1 & -1 & -1

\end{vmatrix}$

* 第5行から第1行を引く (R5 -> R5 - R1):

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 2 & 2 & -2 & 0

\end{vmatrix}$

* 第2行と第3行を入れ替える (R2 <-> R3):

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 2 & 2 & -2 & 0

\end{vmatrix}$

* 第5行から第2行を引く (R5 -> R5 - R2):

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 2 & -2 & 0

\end{vmatrix}$

* 第5行から第3行を引く (R5 -> R5 - R3):

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -2 & -2

\end{vmatrix}$

* 第5行に第4行を加える (R5 -> R5 + R4):

$\begin{vmatrix}

1 & -1 & -1 & 1 & -1 \\

0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & -2

\end{vmatrix}$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積になります。ただし、第2行と第3行を入れ替えたので符号が反転します。

行列式 = $(-1) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (-2)) = (-1) \cdot (-16) = 16$

3. 最終的な答え

16