2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ (ただし $a \neq 0$) の2つの解が $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ と $\beta = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ であるとき、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{c}{a}$ の値を求めます。 (2) $a=2$ のとき、元の2次方程式を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ (ただし $a \neq 0$) の2つの解が $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ と $\beta = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ であるとき、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{c}{a}$ の値を求めます。

(2) $a=2$ のとき、元の2次方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式の解と係数の関係より、2つの解の積 $\alpha\beta$ は $\frac{c}{a}$ に等しくなります。したがって、$\alpha\beta$を計算します。

$\alpha\beta = \frac{1+\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{2}$

$\alpha\beta = \frac{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{4} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

よって、

$\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$

(2) 解と係数の関係より、2つの解の和 $\alpha+\beta$ は $-\frac{b}{a}$ に等しくなります。$\alpha+\beta$ を計算します。

$\alpha + \beta = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{1-\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} = 1$

したがって、 $-\frac{b}{a} = 1$ となり、$b = -a$ です。

$a=2$ なので、$b = -2$ です。

また、$\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$ であり、$a=2$ なので、$c = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$ です。

したがって、元の2次方程式は $2x^2 - 2x - 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{c}{a} = -\frac{1}{2}$

(2) $2x^2 - 2x - 1 = 0$