$x = 5 + \sqrt{2}$、 $y = 5 - \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x = 5 + \sqrt{2}$、 $y = 5 - \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$x^2 - y^2$ は因数分解できます。

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$

与えられた $x$ と $y$ の値を代入します。

$x + y = (5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) = 10$

$x - y = (5 + \sqrt{2}) - (5 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$

したがって、

$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 10 \cdot 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$20\sqrt{2}$