2次方程式 $3x^2 - 6x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の値を求めます。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $\alpha^4 + \beta^4$ (3) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $3x^2 - 6x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、以下の値を求めます。

(1) $\alpha^2 + \beta^2$

(2) $\alpha^4 + \beta^4$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{-6}{3} = 2$

$\alpha \beta = \frac{1}{3}$

(1) $\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ なので、

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = 2^2 - 2 \cdot \frac{1}{3} = 4 - \frac{2}{3} = \frac{12}{3} - \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

(2) $\alpha^4 + \beta^4$ を求めます。

$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = \alpha^4 + 2\alpha^2\beta^2 + \beta^4$ なので、

$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2$

$\alpha^4 + \beta^4 = \left(\frac{10}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{100}{9} - 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{100}{9} - \frac{2}{9} = \frac{98}{9}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3$ を求めます。

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta)$

$\alpha^3 + \beta^3 = 2 \cdot \left(2^2 - 3 \cdot \frac{1}{3}\right) = 2 \cdot (4 - 1) = 2 \cdot 3 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha^2 + \beta^2 = \frac{10}{3}$

(2) $\alpha^4 + \beta^4 = \frac{98}{9}$

(3) $\alpha^3 + \beta^3 = 6$