複素数 $z_n = (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i)^n$ (ただし、$n=1,2,3,...$、 $i$は虚数単位)について、以下の問いに答える問題です。 (1) $|z_1|$ を求める。 (2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求める。 (3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表す。

1. 問題の内容

複素数 $z_n = (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i)^n$ (ただし、$n=1,2,3,...$、 $i$は虚数単位)について、以下の問いに答える問題です。

(1) $|z_1|$ を求める。

(2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求める。

(3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表す。

2. 解き方の手順

(1) まず、$z_1$ を計算します。

$z_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i$

$|z_1| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$

**訂正：写真の問題文では(1)の答えが1となっていますが、正しくは2です。**

(2) $z_2 = z_1^2 = (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i)^2$

$= (\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}})^2 - (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^2 + 2(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}})(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})i$

$= \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} - \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} + 2(\frac{3-1}{2})i$

$= \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} - \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} + 2i$

$= 2 - \sqrt{3} - (2 + \sqrt{3}) + 2i = -2\sqrt{3} + 2i$

$|z_2| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$\arg z_2 = \arctan(\frac{2}{-2\sqrt{3}}) = \arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}})$

$z_2$ は第二象限にあるので、$\arg z_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

(3) $z_n$ を極形式で表します。

$z_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i = 2(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}i)$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}, \sin \theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ を求めます。

$\theta = \frac{5\pi}{12}$

$z_1 = 2(\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12})$

$z_n = (2(\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12}))^n = 2^n(\cos \frac{5n\pi}{12} + i \sin \frac{5n\pi}{12})$

$z_n$ の実部 $x_n = 2^n \cos \frac{5n\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $|z_1| = 2$

(2) $|z_2| = 4$, $\arg z_2 = \frac{5\pi}{6}$

(3) $x_n = 2^n \cos \frac{5n\pi}{12}$

したがって、空欄は以下の通りです。

5: 2

6: 5

7: 1

8: 2