与えられたベクトルの組が線形独立か線形従属かを判定し、その理由を述べる。 (i) $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (ii) $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの組が線形独立か線形従属かを判定し、その理由を述べる。

(i) $\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

ベクトルの組が線形独立であるとは、それらの線形結合がゼロベクトルになるのが、全ての係数がゼロの場合に限るということである。逆に、ゼロでない係数による線形結合でゼロベクトルが作れる場合は、線形従属である。

(i) ベクトルの組を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$とする。

$k_1\vec{a} + k_2\vec{b} + k_3\vec{c} = \vec{0}$ を考える。

つまり、$k_1\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これは連立方程式として表せる。

$2k_1 + 3k_2 + 3k_3 = 0$

$0k_1 + 0k_2 + 2k_3 = 0$

$1k_1 - 1k_2 + 1k_3 = 0$

2番目の式から、$k_3 = 0$ がわかる。

これを1番目と3番目の式に代入すると、

$2k_1 + 3k_2 = 0$

$k_1 - k_2 = 0$

$k_1 = k_2$

$2k_1 + 3k_1 = 5k_1 = 0$

よって、$k_1 = 0$

したがって、$k_2 = 0$

$k_1 = k_2 = k_3 = 0$ なので、線形独立である。

(ii) ベクトルの組を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$とする。

$k_1\vec{a} + k_2\vec{b} + k_3\vec{c} = \vec{0}$ を考える。

つまり、$k_1\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これは連立方程式として表せる。

$2k_1 + 1k_2 + 3k_3 = 0$

$1k_1 + 0k_2 + 1k_3 = 0$

$2k_1 + 1k_2 + 2k_3 = 0$

2番目の式から、$k_1 = -k_3$

これを1番目と3番目の式に代入すると、

$-2k_3 + k_2 + 3k_3 = 0$

$-2k_3 + k_2 + 2k_3 = 0$

$k_2 + k_3 = 0$

$k_2 = 0$

したがって、$k_3 = 0$, $k_1 = 0$

$k_1 = k_2 = k_3 = 0$ なので、線形独立である。

3. 最終的な答え

(i) 線形独立

(ii) 線形独立