複素数 $z_n = \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i \right)^n$ (n=1, 2, 3, ...) について、以下の問いに答える問題です。 (1) $|z_1|$ を求めよ。 (2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求めよ。 (3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表せ。

1. 問題の内容

複素数 $z_n = \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i \right)^n$ (n=1, 2, 3, ...) について、以下の問いに答える問題です。

(1) $|z_1|$ を求めよ。

(2) $|z_2|$ と $\arg z_2$ を求めよ。

(3) $z_n$ の実部 $x_n$ を $n$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$z_1$ を計算します。

$z_1 = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i$

$|z_1| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2} + \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$

(2) $z_2 = (z_1)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}i\right)^2$

$z_2 = \left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\right)i$

$z_2 = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} - \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{2} + 2\left(\frac{3-1}{2}\right)i = \frac{4 - 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3}}{2} + 2i = -2\sqrt{3} + 2i$

$|z_2| = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$\arg z_2 = \arctan \left(\frac{2}{-2\sqrt{3}}\right) = \arctan \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \arctan \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

第2象限にあるので、$\arg z_2 = \frac{5\pi}{6}$

問題文によると$|z_1|=1$となっているので、複素数$z_n$を極形式で表すことを考える。

$z = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} i$

$r = |z| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2} + \frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

$\theta = \frac{5\pi}{12}$

$z = 2 (\cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12})$

$z_n = z^n = 2^n (\cos \frac{5n\pi}{12} + i \sin \frac{5n\pi}{12})$

$x_n = \Re(z_n) = 2^n \cos \frac{5n\pi}{12}$

(1) $|z_1|=2$

(2) $|z_2|=4$, $\arg z_2 = \frac{5\pi}{6}$

(3) $x_n = 2^n \cos \frac{5n\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 4, $\frac{5}{6}\pi$

(3) $2^n \cos \frac{5}{12}n\pi$