行列 $A = \begin{bmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{bmatrix}$ の行列式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{bmatrix}$ の行列式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$

行列式を計算するために、まず1行目から2行目と3行目を引きます。

$|A| = \begin{vmatrix} x-1 & 1-x & 0 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-1 & 1-x & 0 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$

次に、1行目から3行目を引きます。

$|A| = \begin{vmatrix} x-1 & 1-x & 0 \\ 1-1 & x-1 & 1-x \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-1 & 1-x & 0 \\ 0 & x-1 & 1-x \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$

1列目に2列目と3列目を足します。

$|A| = \begin{vmatrix} x+2 & 1 & 1 \\ x+2 & x & 1 \\ x+2 & 1 & x \end{vmatrix}$

1列目から $x+2$ をくくりだします。

$|A| = (x+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$

次に、1行目から2行目と3行目を引きます。

$|A| = (x+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x-1 & 0 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}$

これで上三角行列になったので、対角成分の積をとります。

$|A| = (x+2)(1)(x-1)(x-1)$

$|A| = (x+2)(x-1)^2$

3. 最終的な答え

$(x+2)(x-1)^2$