与えられた連立一次方程式が解を持つかどうかを判定し、解を持つ場合はその解を掃き出し法を用いて求めます。問題には2つの連立一次方程式(5)と(6)があります。 連立一次方程式(5): $x_1 + 2x_2 + x_3 = -1$ $10x_1 - x_2 + 13x_3 = 4$ $8x_1 + 2x_2 + 10x_3 = 2$ 連立一次方程式(6): $4x_1 + 7x_2 + 11x_3 = 10$ $x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 5$ $-x_1 - 8x_2 - 9x_3 = -15$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式が解を持つかどうかを判定し、解を持つ場合はその解を掃き出し法を用いて求めます。問題には2つの連立一次方程式(5)と(6)があります。

連立一次方程式(5):

$x_1 + 2x_2 + x_3 = -1$

$10x_1 - x_2 + 13x_3 = 4$

$8x_1 + 2x_2 + 10x_3 = 2$

連立一次方程式(6):

$4x_1 + 7x_2 + 11x_3 = 10$

$x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 5$

$-x_1 - 8x_2 - 9x_3 = -15$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの連立一次方程式について、拡大係数行列を作成し、掃き出し法を用いて階段行列に変形します。階段行列から解の存在を判定し、解が存在する場合は、後退代入を用いて解を求めます。

**連立一次方程式(5)について**

(1) 拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 10 & -1 & 13 & 4 \\ 8 & 2 & 10 & 2 \end{bmatrix}$

(2) 掃き出し法を行います。

2行目から1行目の10倍を引きます（$R_2 \rightarrow R_2 - 10R_1$）。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & -21 & 3 & 14 \\ 8 & 2 & 10 & 2 \end{bmatrix}$

3行目から1行目の8倍を引きます（$R_3 \rightarrow R_3 - 8R_1$）。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & -21 & 3 & 14 \\ 0 & -14 & 2 & 10 \end{bmatrix}$

2行目を-21で割ります（$R_2 \rightarrow -\frac{1}{21}R_2$）。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{7} & -\frac{2}{3} \\ 0 & -14 & 2 & 10 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の14倍を加えます（$R_3 \rightarrow R_3 + 14R_2$）。

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{7} & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2}{3} \end{bmatrix}$

最後の行は、$0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = \frac{2}{3}$となり、これは矛盾しているので、解なしとなります。

**連立一次方程式(6)について**

(1) 拡大係数行列を作成します。

$\begin{bmatrix} 4 & 7 & 11 & 10 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ -1 & -8 & -9 & -15 \end{bmatrix}$

(2) 掃き出し法を行います。

1行目と2行目を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 7 & 11 & 10 \\ -1 & -8 & -9 & -15 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の4倍を引きます($R_2 \rightarrow R_2 - 4R_1$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -5 & -10 \\ -1 & -8 & -9 & -15 \end{bmatrix}$

3行目に1行目を加えます($R_3 \rightarrow R_3 + R_1$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & -5 & -5 & -10 \\ 0 & -5 & -5 & -10 \end{bmatrix}$

2行目を-5で割ります($R_2 \rightarrow -\frac{1}{5}R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -5 & -10 \end{bmatrix}$

3行目に2行目の5倍を加えます($R_3 \rightarrow R_3 + 5R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の3倍を引きます($R_1 \rightarrow R_1 - 3R_2$)。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

この結果から、$x_1 + x_3 = -1$と$x_2 + x_3 = 2$が得られます。$x_3 = t$とおくと、$x_1 = -1 - t$、$x_2 = 2 - t$となります。

3. 最終的な答え

連立一次方程式(5)：解なし

連立一次方程式(6)：

$x_1 = -1 - t$

$x_2 = 2 - t$

$x_3 = t$

（$t$は任意の実数）