与えられた2次関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の定義域が $-1 \leq x \leq 0$ であるとき、この関数における $y$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -3x^2 - 4x + 2$ の定義域が $-1 \leq x \leq 0$ であるとき、この関数における $y$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 - 4x + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

$y = -3(x^2 + \frac{4}{3}x + (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^2) + 2$

$y = -3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 2$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + \frac{6}{3}$

$y = -3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{10}{3}$

平方完成された式から、この2次関数の頂点の座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{10}{3})$ であり、上に凸のグラフであることがわかります。

次に、定義域 $-1 \leq x \leq 0$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

頂点の $x$ 座標は $x = -\frac{2}{3}$ であり、これは定義域内に含まれています。したがって、頂点における $y$ 座標が最大値となります。

最大値: $y = \frac{10}{3}$

次に、定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき:

$y = -3(-1)^2 - 4(-1) + 2$

$y = -3(1) + 4 + 2$

$y = -3 + 4 + 2$

$y = 3$

$x = 0$ のとき:

$y = -3(0)^2 - 4(0) + 2$

$y = 2$

$x = -1$ のときの $y$ の値は $3 = \frac{9}{3}$ であり、$x = 0$ のときの $y$ の値は $2 = \frac{6}{3}$ です。これらの値と最大値 $\frac{10}{3}$ を比較すると、最小値は $x = 0$ のときの $y = 2$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{10}{3}$

最小値: $2$