与えられた3つの方程式を解き、$x$ の値を求めます。 (1) $x^3 = -64$ (2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$ (3) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

はい、承知いたしました。問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

与えられた3つの方程式を解き、$x$ の値を求めます。

(1) $x^3 = -64$

(2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$

(3) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = -64$ の解法

$x^3 + 64 = 0$ と変形します。

$64 = 4^3$ であることに注意し、因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用します。

$(x+4)(x^2 - 4x + 16) = 0$

したがって、$x = -4$ または $x^2 - 4x + 16 = 0$ となります。

二次方程式 $x^2 - 4x + 16 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(16)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}i}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}i$

したがって、$x = -4, 2 + 2\sqrt{3}i, 2 - 2\sqrt{3}i$

(2) $x^4 + 7x^2 - 8 = 0$ の解法

$y = x^2$ とおくと、$y^2 + 7y - 8 = 0$ となります。

$(y+8)(y-1) = 0$

したがって、$y = -8, 1$ となります。

$x^2 = -8$ より、$x = \pm \sqrt{-8} = \pm 2\sqrt{2}i$

$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$

したがって、$x = \pm 1, \pm 2\sqrt{2}i$

(3) $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ の解法

この方程式の整数解を探します。

$x=1$ を代入すると、$1 - 6 + 11 - 6 = 0$ となるので、$x=1$ は解です。

したがって、$x-1$ を因数に持ちます。

組立除法または筆算で、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を $x-1$ で割ると、$x^2 - 5x + 6$ となります。

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$

$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$

したがって、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x-2)(x-3) = 0$

$x = 1, 2, 3$

3. 最終的な答え

(1) $x = -4, 2 + 2\sqrt{3}i, 2 - 2\sqrt{3}i$

(2) $x = \pm 1, \pm 2\sqrt{2}i$

(3) $x = 1, 2, 3$