2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $\alpha^2 + \beta^2$ (2) $(\alpha - \beta)^2$ (3) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (4) $\alpha^3 + \beta^3$

代数学二次方程式解と係数の関係式の計算
2025/7/10
はい、承知いたしました。問題文に沿って回答します。

1. 問題の内容

2次方程式 x22x+3=0x^2 - 2x + 3 = 0 の2つの解を α\alpha, β\beta とするとき、以下の式の値を求めよ。
(1) α2+β2\alpha^2 + \beta^2
(2) (αβ)2(\alpha - \beta)^2
(3) α2β+αβ2\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2
(4) α3+β3\alpha^3 + \beta^3

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係から、
α+β=2\alpha + \beta = 2
αβ=3\alpha \beta = 3
(1) α2+β2=(α+β)22αβ\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta
=(2)22(3)= (2)^2 - 2(3)
=46= 4 - 6
=2= -2
(2) (αβ)2=(α+β)24αβ(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta
=(2)24(3)= (2)^2 - 4(3)
=412= 4 - 12
=8= -8
(3) α2β+αβ2=αβ(α+β)\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta)
=3(2)= 3(2)
=6= 6
(4) α3+β3=(α+β)(α2αβ+β2)\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2)
=(α+β)[(α+β)23αβ]= (\alpha + \beta)[(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta]
=(2)[(2)23(3)]= (2)[(2)^2 - 3(3)]
=2[49]= 2[4 - 9]
=2(5)= 2(-5)
=10= -10

3. 最終的な答え

(1) α2+β2=2\alpha^2 + \beta^2 = -2
(2) (αβ)2=8(\alpha - \beta)^2 = -8
(3) α2β+αβ2=6\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = 6
(4) α3+β3=10\alpha^3 + \beta^3 = -10

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