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与えられた4つの行列式それぞれの値を計算する問題です。

代数学行列式線形代数余因子展開行基本変形
2025/7/10

1. 問題の内容

与えられた4つの行列式それぞれの値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列式
∣103−10124−3154486−5∣ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -3 & 1 & 5 & 4 \\ 4 & 8 & 6 & -5 \end{vmatrix}
1行目を基準に3行目をR3→R3+3R1R_3 \rightarrow R_3 + 3R_1、4行目をR4→R4−4R1R_4 \rightarrow R_4 - 4R_1と行基本変形を行うと
∣103−101240114108−6−1∣ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 14 & 1 \\ 0 & 8 & -6 & -1 \end{vmatrix}
2行目を基準に3行目をR3→R3−R2R_3 \rightarrow R_3 - R_2、4行目をR4→R4−8R2R_4 \rightarrow R_4 - 8R_2と行基本変形を行うと
∣103−101240012−300−22−33∣ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 12 & -3 \\ 0 & 0 & -22 & -33 \end{vmatrix}
1×1×∣12−3−22−33∣1 \times 1 \times \begin{vmatrix} 12 & -3 \\ -22 & -33 \end{vmatrix}
=12×(−33)−(−3)×(−22)=−396−66=−462= 12 \times (-33) - (-3) \times (-22) = -396 - 66 = -462
(2) 行列式
∣3−3−605751400040300806003−1−2∣ \begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}
3行目を基準に4行目をR4→R4−2R3R_4 \rightarrow R_4 - 2R_3と行基本変形を行うと
∣3−3−605751400040300000003−1−2∣ \begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}
4行目が全て0なので、行列式は0。
(3) 行列式
∣3−3−640051−20−17013008060030−2∣ \begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & 7 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix}
4列目を基準に余因子展開
4×∣0510−17030086003−2∣+1×(−1)3+4×∣3−3−6005100086003−2∣4 \times \begin{vmatrix} 0 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} + 1 \times (-1)^{3+4} \times \begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}
=4×(−1)×(−1)2+1∣51008603−2∣−∣3−3−6005100086003−2∣=4 \times (-1) \times (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 8 & 6 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}
=4×(5×(8×(−2)−6×3))−3×∣51008603−2∣= 4 \times (5 \times (8 \times (-2) - 6 \times 3)) - 3 \times \begin{vmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 8 & 6 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}
=4×5×(−16−18)−3×(5×(8×(−2)−6×3))= 4 \times 5 \times (-16 - 18) - 3 \times (5 \times (8 \times (-2) - 6 \times 3))
=4×5×(−34)−3×5×(−34)=20×(−34)−15×(−34)=5×(−34)=−170= 4 \times 5 \times (-34) - 3 \times 5 \times (-34) = 20 \times (-34) - 15 \times (-34) = 5 \times (-34) = -170
(4) 行列式
∣002500−24−36−24326−5∣ \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \\ -3 & 6 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 & -5 \end{vmatrix}
1列目を基準に余因子展開
−3×(−1)3+1∣0250−2426−5∣+3×(−1)4+1∣0250−246−24∣=−3×∣0250−2426−5∣−3×∣0250−246−24∣=−6×∣0250−246−24∣-3 \times (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 6 & -5 \end{vmatrix} + 3 \times (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix} = -3 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 6 & -5 \end{vmatrix} -3 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix} = -6 \times \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix}
−6×6×(−1)3+1∣25−24∣=−36×(2×4−5×(−2))=−36×(8+10)=−36×18=−648-6 \times 6 \times (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = -36 \times (2 \times 4 - 5 \times (-2)) = -36 \times (8 + 10) = -36 \times 18 = -648

3. 最終的な答え

(1) -462
(2) 0
(3) -170
(4) -648

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