与えられた4つの行列式それぞれの値を計算する問題です。

はい、承知いたしました。行列式の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列式それぞれの値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1行目に関して余因子展開を行う。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 3 & -1 \\

0 & 1 & 2 & 4 \\

-3 & 1 & 5 & 4 \\

4 & 8 & 6 & -5

\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 4 \\ 8 & 6 & -5 \end{vmatrix} + 0 + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -3 & 1 & 4 \\ 4 & 8 & -5 \end{vmatrix} -1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \\ 4 & 8 & 6 \end{vmatrix}

$$

それぞれの3x3行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 4 \\ 8 & 6 & -5 \end{vmatrix} = 1(-25-24) -2(-5-32) + 4(6-40) = -49 + 74 - 136 = -111

$$

$$

\begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -3 & 1 & 4 \\ 4 & 8 & -5 \end{vmatrix} = 0 -1(15-16) + 4(-24-4) = 1 -112 = -111

$$

$$

\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \\ 4 & 8 & 6 \end{vmatrix} = 0 -1(-18-20) + 2(-24-4) = 38 - 56 = -18

$$

よって、

$$

\begin{vmatrix}

1 & 0 & 3 & -1 \\

0 & 1 & 2 & 4 \\

-3 & 1 & 5 & 4 \\

4 & 8 & 6 & -5

\end{vmatrix} = 1 \cdot (-111) + 3 \cdot (-111) - 1 \cdot (-18) = -111 - 333 + 18 = -426

$$

(2) 1列目に関して余因子展開を行うと、1行目以外の要素はすべて0なので、

$$

\begin{vmatrix}

3 & -3 & -6 & 0 & 5 \\

7 & 5 & 1 & 4 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 0 & 3 \\

0 & 0 & 8 & 0 & 6 \\

0 & 0 & 3 & -1 & -2

\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} - 7 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -6 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}

$$

2つ目の行列式の第1列は0でない要素が-3のみなので、

$$

\begin{vmatrix} -3 & -6 & 0 & 5 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 8 & 0 & 6 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}

$$

同様に、1つ目の行列式は、

$$

\begin{vmatrix} 5 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 8 & 0 & 6 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}

$$

なので、

$$

\begin{vmatrix} 4 & 0 & 3 \\ 8 & 0 & 6 \\ 3 & -1 & -2 \end{vmatrix} = 0 - (-1) \cdot (24-24) + 0 = 0

$$

したがって、行列式の値は0。

(3) 1列目に関して余因子展開を行うと、

$$

\begin{vmatrix}

3 & -3 & -6 & 4 & 0 \\

0 & 5 & 1 & -2 & 0 \\

-1 & 7 & 0 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 8 & 0 & 6 \\

0 & 0 & 3 & 0 & -2

\end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 & -2 & 0 \\ 7 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} - 0 + (-1)(-1) \cdot \begin{vmatrix} -3 & -6 & 4 & 0 \\ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} - 0 + 0

$$

$$

\begin{vmatrix} 5 & 1 & -2 & 0 \\ 7 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 5\begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 8 & 0 & 6 \\ 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} -1\begin{vmatrix} 7 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} + (-2)\begin{vmatrix} 7 & 0 & 3 \\ 0 & 8 & 6 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}

$$

$$

\begin{vmatrix} 7 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0

$$

$$

\begin{vmatrix} -3 & -6 & 4 & 0 \\ 5 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix} = -6

$$

(4)

$$

\begin{vmatrix}

0 & 0 & 2 & 5 \\

0 & 0 & -2 & 4 \\

-3 & 6 & -2 & 4 \\

3 & 2 & 6 & -5

\end{vmatrix} = 0

$$

1列目に関して余因子展開を行うと、

$0 -0 + (-3) \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 6 & -5 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix}$

$$

\begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 6 & -5 \end{vmatrix} = -2(8+10) = -36

$$

$$

\begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix} = -6(8+10) = -108

$$

したがって、$-3 * -36 -3 * -108 = 108 + 324 = 432$

3. 最終的な答え

(1) -426

(2) 0

(3) -6

(4) 432