与えられた二つの多項式を因数分解する。 (1) $x^3 - 7x^2 + 14x - 8$ (2) $2x^3 + 5x^2 + x - 2$

1. 問題の内容

与えられた二つの多項式を因数分解する。

(1) $x^3 - 7x^2 + 14x - 8$

(2) $2x^3 + 5x^2 + x - 2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x=1$ を代入すると $1 - 7 + 14 - 8 = 0$ となるので、$x-1$ を因数に持つことがわかる。

$x^3 - 7x^2 + 14x - 8$ を $x-1$ で割ると、

$x^2 - 6x + 8$ となる。

したがって、

$x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x-1)(x^2 - 6x + 8)$

さらに、$x^2 - 6x + 8$ を因数分解する。

$x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4)$

よって、

$x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x-1)(x-2)(x-4)$

(2)

$x= -1$ を代入すると、$2(-1)^3 + 5(-1)^2 + (-1) - 2 = -2 + 5 - 1 - 2 = 0$ となるので、$x+1$ を因数に持つ。

$2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を $x+1$ で割ると、$2x^2 + 3x - 2$ となる。

したがって、

$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x+1)(2x^2 + 3x - 2)$

さらに、$2x^2 + 3x - 2$ を因数分解する。

$2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$

よって、

$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x+1)(2x-1)(x+2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)(x-2)(x-4)$

(2) $(x+1)(2x-1)(x+2)$