与えられた対数の式を簡単にせよ。具体的には以下の4つの式を計算する。 (1) $\log_6 12 + \log_6 3$ (2) $\log_5 15 - \log_5 75$ (3) $\log_3 \sqrt[3]{6} - \frac{1}{3} \log_3 2$ (4) $\log_2 \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{2} \log_2 3 - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を簡単にせよ。具体的には以下の4つの式を計算する。

(1) $\log_6 12 + \log_6 3$

(2) $\log_5 15 - \log_5 75$

(3) $\log_3 \sqrt[3]{6} - \frac{1}{3} \log_3 2$

(4) $\log_2 \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{2} \log_2 3 - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

2. 解き方の手順

(1) 対数の和の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を利用する。

$\log_6 12 + \log_6 3 = \log_6 (12 \times 3) = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2$

(2) 対数の差の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$ を利用する。

$\log_5 15 - \log_5 75 = \log_5 \frac{15}{75} = \log_5 \frac{1}{5} = \log_5 5^{-1} = -1$

(3) $\sqrt[3]{6} = 6^{\frac{1}{3}}$であることと、対数の性質 $r\log_a x = \log_a x^r$を利用する。

$\log_3 \sqrt[3]{6} - \frac{1}{3} \log_3 2 = \log_3 6^{\frac{1}{3}} - \log_3 2^{\frac{1}{3}} = \log_3 \frac{6^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{3}}} = \log_3 (\frac{6}{2})^{\frac{1}{3}} = \log_3 3^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$

(4) 対数の性質 $r\log_a x = \log_a x^r$を利用して式を整理し、その後、対数の和と差の性質を適用する。

$\log_2 \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{3}{2} \log_2 3 - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 \frac{\sqrt{2}}{3} + \log_2 3^{\frac{3}{2}} - \log_2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \log_2 \frac{\frac{\sqrt{2}}{3} \times 3^{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \log_2 \frac{\sqrt{2} \times 3^{\frac{3}{2}} \times 2}{3 \times \sqrt{3}} = \log_2 \frac{\sqrt{2} \times 3\sqrt{3} \times 2}{3 \times \sqrt{3}} = \log_2 2\sqrt{2} = \log_2 2^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) -1

(3) 1/3

(4) 3/2