関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフと直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 2$, $m: y = -5$ がある。グラフと直線 $l$ は2点A, Bで交わっている。Aの座標は (4, 4) であり、Bの $x$ 座標は -8 である。また、関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフと直線 $m$ との交点をCとし、直線 $m$ 上に $x$ 座標が2である点Dをとる。 (1) $a$ の値を求めよ。 (2) 2点A, Dを通る直線の式を求めよ。 (3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフと直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 2$, $m: y = -5$ がある。グラフと直線 $l$ は2点A, Bで交わっている。Aの座標は (4, 4) であり、Bの $x$ 座標は -8 である。また、関数 $y = \frac{a}{x}$ のグラフと直線 $m$ との交点をCとし、直線 $m$ 上に $x$ 座標が2である点Dをとる。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 2点A, Dを通る直線の式を求めよ。

(3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) A (4, 4) は $y = \frac{a}{x}$ 上の点なので、 $4 = \frac{a}{4}$ が成り立つ。よって $a = 16$。

(2) Dは直線 $y = -5$ 上の点であり、$x$ 座標が2なので、D (2, -5) である。

A (4, 4), D (2, -5) を通る直線の式を $y = px + q$ とすると、

$4 = 4p + q$

$-5 = 2p + q$

上の式から下の式を引くと $9 = 2p$, よって $p = \frac{9}{2}$。

$4 = 4(\frac{9}{2}) + q$ なので、$4 = 18 + q$ より $q = -14$。

よって、求める直線の式は $y = \frac{9}{2}x - 14$。

(3) まず、Cの座標を求める。Cは $y = \frac{16}{x}$ と $y = -5$ の交点なので、 $-5 = \frac{16}{x}$。よって、$x = -\frac{16}{5}$。したがって、$C(-\frac{16}{5}, -5)$。

また、Bの $x$ 座標は -8 なので、$y = \frac{16}{-8} = -2$。したがって、$B(-8, -2)$。

四角形ABCDの面積は、台形ABDEの面積から三角形CBEの面積を引けばよい。

E は直線 m 上で、x 座標が -8 の点なので、E (-8, -5) である。

D (2, -5) なので、DE の長さは $2 - (-8) = 10$。

A (4, 4) なので、A から m までの距離は $4 - (-5) = 9$。

B (-8, -2) なので、B から m までの距離は $-2 - (-5) = 3$。

台形ABDEの面積は $\frac{1}{2} \times (9 + 3) \times 10 = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 = 60$。

C($-\frac{16}{5}$, -5), B(-8, -2) なので、BE の長さは $-2 - (-5) = 3$。

CE の長さは $-8 - (-\frac{16}{5}) = -8 + \frac{16}{5} = \frac{-40 + 16}{5} = -\frac{24}{5}$。CE の絶対値は $\frac{24}{5}$。

三角形CBEの面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times \frac{24}{5} = \frac{72}{10} = \frac{36}{5}$。

よって、四角形ABCDの面積は $60 - \frac{36}{5} = \frac{300 - 36}{5} = \frac{264}{5}$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 16$

(2) $y = \frac{9}{2}x - 14$

(3) $\frac{264}{5}$