2つの2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ (①) と $x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$ (②) が与えられたとき、次の条件を満たす $a$ の値の範囲を求める問題です。 (1) ①、②がともに実数解をもつ。 (2) ①、②のうち一方だけが実数解をもつ。 (3) ①、②のうち少なくとも一方が実数解をもつ。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ (①) と $x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$ (②) が与えられたとき、次の条件を満たす $a$ の値の範囲を求める問題です。

(1) ①、②がともに実数解をもつ。

(2) ①、②のうち一方だけが実数解をもつ。

(3) ①、②のうち少なくとも一方が実数解をもつ。

2. 解き方の手順

まず、各2次方程式が実数解を持つための条件を判別式を使って求めます。

(1) ①の判別式を $D_1$ とすると、

$D_1 = (-2a)^2 - 4(1)(4) = 4a^2 - 16$

①が実数解を持つための条件は $D_1 \geq 0$ であるから、

$4a^2 - 16 \geq 0$

$a^2 - 4 \geq 0$

$(a - 2)(a + 2) \geq 0$

$a \leq -2$ または $a \geq 2$

(2) ②の判別式を $D_2$ とすると、

$D_2 = (-2a)^2 - 4(1)(2a + 3) = 4a^2 - 8a - 12$

②が実数解を持つための条件は $D_2 \geq 0$ であるから、

$4a^2 - 8a - 12 \geq 0$

$a^2 - 2a - 3 \geq 0$

$(a - 3)(a + 1) \geq 0$

$a \leq -1$ または $a \geq 3$

(1) ①、②がともに実数解をもつ場合

$a \leq -2$ または $a \geq 2$ かつ $a \leq -1$ または $a \geq 3$ を満たす $a$ の範囲を求める。

$a \leq -2$ と $a \leq -1$ の共通範囲は $a \leq -2$

$a \leq -2$ と $a \geq 3$ の共通範囲はない

$a \geq 2$ と $a \leq -1$ の共通範囲はない

$a \geq 2$ と $a \geq 3$ の共通範囲は $a \geq 3$

よって、 $a \leq -2$ または $a \geq 3$

(2) ①、②のうち一方だけが実数解をもつ場合

①が実数解を持ち、②が実数解を持たない場合、または①が実数解を持たず、②が実数解を持つ場合を考える。

①が実数解を持ち、②が実数解を持たない：$(a \leq -2$ または $a \geq 2)$ かつ $(-1 < a < 3)$

これは $-1 < a \leq -2$ または $2 \leq a < 3$ となるが、$a$ の大小関係から$-1 < a \leq -2$ は不適であるので、$2 \leq a < 3$。

①が実数解を持たず、②が実数解を持つ：$(-2 < a < 2)$ かつ $(a \leq -1$ または $a \geq 3)$

これは $-2 < a \leq -1$ となる。

したがって、$-2 < a \leq -1$ または $2 \leq a < 3$

(3) ①、②のうち少なくとも一方が実数解をもつ場合

①が実数解を持つか、②が実数解を持つか、または両方とも実数解を持つ場合を考える。これは、①が実数解を持たない場合と②が実数解を持たない場合の両方を否定すればよい。

$a$ が $a \leq -2$ または $a \geq 2$ を満たすか、$a \leq -1$ または $a \geq 3$ を満たせばよい。

つまり、$a \leq -1$ または $a \geq 2$

3. 最終的な答え

(1) $a \leq -2$ または $a \geq 3$

(2) $-2 < a \leq -1$ または $2 \leq a < 3$

(3) $a \leq -1$ または $a \geq 2$