$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるような整数 $n$ の個数を求める問題です。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$4.32^n$ の整数部分が4桁であるということは、$10^3 \le 4.32^n < 10^4$ が成り立つということです。

この不等式の各辺の常用対数を取ります。

$log_{10}10^3 \le log_{10}4.32^n < log_{10}10^4$

$3 \le nlog_{10}4.32 < 4$

ここで、$log_{10}4.32$ を計算します。

$log_{10}4.32 = log_{10}(432/100) = log_{10}432 - log_{10}100 = log_{10}(2^4 \times 3^3) - 2 = log_{10}2^4 + log_{10}3^3 - 2 = 4log_{10}2 + 3log_{10}3 - 2$

与えられた値を使って計算すると、

$log_{10}4.32 = 4(0.3010) + 3(0.4771) - 2 = 1.204 + 1.4313 - 2 = 2.6353 - 2 = 0.6353$

したがって、$3 \le 0.6353n < 4$ となります。

各辺を0.6353で割ると、

$3/0.6353 \le n < 4/0.6353$

$4.722... \le n < 6.295...$

$n$ は整数なので、$5 \le n \le 6$ となります。

よって、$n = 5, 6$ の2つの整数が存在します。

つまり、$n$ の個数は2個です。

3. 最終的な答え

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