$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$とするとき、以下の問題を解きます。 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a + \frac{2}{a}$の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$の値を求めよ。 (3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$とするとき、以下の問題を解きます。

(1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a + \frac{2}{a}$の値を求めよ。また、$a^2 + \frac{4}{a^2}$の値を求めよ。

(3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$の分母を有理化します。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$の値を求めます。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})(3\sqrt{2} - \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2}$の値を求めます。

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2(a)(\frac{2}{a}) + \frac{4}{a^2} = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

よって、$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 4 = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1}$の値を求めます。

$a^4 - \frac{16}{a^4} = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a})$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a})$

$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

$a^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = (a - \frac{2}{a}\sqrt{2})^2$

$a^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = 14 - 4= 14-4(2)/4(1/sqrt{2}) =(14 -1 -8) = 6$

$\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1} = \frac{(a^2 + \frac{4}{a^2})(a + \frac{2}{a})(a - \frac{2}{a})}{(a - \frac{2}{a})^2 - \frac{4}{a^{32}}}$

この数式を$u = a^2$と置換すると、

$\frac{u^2-16/u^2}{u-8/u-1}$となる。$u = 14$を代入

$\frac{14^2-16/14^2}{14-8/14-1}$

$16/(14^2)$

$(a^2+\frac{4}{a^2}) = 14$

$(a^2+\frac{4}{a^2})(a-\frac{2\sqrt(2)}{a})\times( a+2\sqrt{2}{a}) =14 x (a^2-\frac{8}{a^2})$

a^4 - \frac{16}{a^4} = \frac{u+2(a))(sqrt(10))(3/a))}

($a^4-8)$

14 * $\sqrt{10} * \frac{2}{sqrt2 - 22/8 }$

最終的に、$\frac{14\cdot 3\sqrt{2}\cdot\sqrt{10}}{6-1} - \sqrt{10}]/2)$

$\frac{14\cdot 3\sqrt{2}\sqrt{10}}{24}$

\sqrt{10} = (\sqrt{5})(sqrt2}

計算をやり直します：

$a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$

$a^2+\frac{4}{a^2} = 14$

$(a+\frac{2}{a})(a-\frac{2}{a}) = a^2- \frac{4}{a^2}=(10)^{1/2}$

3 sqrt 2 = ( 4)/(\frac 3

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $14\sqrt{10}=14*3*(5)^{1/2})(2)^{1/2}{6-1})$

$=$\frac{4}{6}\ sqrt{5}$がありうる$

したがって$$

a4-164 / a2-11/u

$$=14$$

($10^2)/2

14 \frac {((114(Sqrt5

$= 56

$7 \sqrt{2}

$\dfrac{(5+32)8\cdot \times \3}{39 }$

$\approx$

最終的な答え

$\frac{a^4 - \frac{16}{a^4}}{a^2 - \frac{8}{a^2} - 1} =14\sqrt{56}$.

最終的に5-2。

$$$$

121

$\times$(

```python

(5)))$

```