与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} a & bc & b+c \\ b & ca & c+a \\ c & ab & a+b \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} a & bc & b+c \\ b & ca & c+a \\ c & ab & a+b \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、サラスの公式または余因子展開を用いることができます。ここでは、行列の性質を利用して計算を簡単にすることを試みます。

1. まず、3列目を1列目と2列目の和として表すことを考えます。つまり、3列目を以下の和で分解します。

$\begin{pmatrix} a & bc & b \\ b & ca & c \\ c & ab & a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a & bc & c \\ b & ca & a \\ c & ab & b \end{pmatrix}$

2. 行列式の性質として、ある列が2つの項の和で表されるとき、行列式は2つの行列式の和として表すことができます。したがって、元の行列式は次のようになります。

$det\begin{pmatrix} a & bc & b+c \\ b & ca & c+a \\ c & ab & a+b \end{pmatrix} = det\begin{pmatrix} a & bc & b \\ b & ca & c \\ c & ab & a \end{pmatrix} + det\begin{pmatrix} a & bc & c \\ b & ca & a \\ c & ab & b \end{pmatrix}$

3. それぞれの行列式を計算します。

最初の行列式:

$det\begin{pmatrix} a & bc & b \\ b & ca & c \\ c & ab & a \end{pmatrix} = a(ca\cdot a - c\cdot ab) - bc(b\cdot a - c\cdot c) + b(b\cdot ab - ca\cdot c) = a(ca^2 - abc) - bc(ab - c^2) + b(ab^2 - c^2a) = a^3c - a^2bc - ab^2c + bc^3 + ab^3 - abc^2$

2番目の行列式:

$det\begin{pmatrix} a & bc & c \\ b & ca & a \\ c & ab & b \end{pmatrix} = a(ca\cdot b - a\cdot ab) - bc(b\cdot b - a\cdot c) + c(b\cdot ab - ca\cdot c) = a(abc - a^2b) - bc(b^2 - ac) + c(ab^2 - c^2a) = a^2bc - a^3b - b^3c + abc^2 + ab^2c - ac^3$

4. これらを足し合わせると、

$a^3c - a^2bc - ab^2c + bc^3 + ab^3 - abc^2 + a^2bc - a^3b - b^3c + abc^2 + ab^2c - ac^3 = a^3c - a^3b + bc^3 - b^3c + ab^3 - ac^3 = a^3(c-b) + b^3(a-c) + c^3(b-a)$

5. さらに式変形を行います。

$a^3(c-b) + b^3(a-c) + c^3(b-a) = a^3(c-b) - b^3(c-a) - c^3(a-b) = a^3(c-b) - b^3(c-b+b-a) - c^3(a-b) = a^3(c-b) - b^3(c-b) - b^3(b-a) - c^3(a-b) = (c-b)(a^3 - b^3) + (a-b)(-b^3 + c^3) = (c-b)(a-b)(a^2+ab+b^2) + (a-b)(c-b)(c^2+cb+b^2) = (a-b)(c-b)(a^2+ab+b^2-c^2-cb-b^2) = (a-b)(c-b)(a^2-c^2 +ab-cb) = (a-b)(c-b)((a-c)(a+c)+b(a-c)) = (a-b)(c-b)(a-c)(a+c+b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

6. 行列式の計算の別解として、列に関して $c_3 \to c_3 + c_2$の操作を行い、その後に $c_3 \to c_3/abc$ の操作をすることで、次の行列を得ます。

$\begin{pmatrix} a & bc & a+b+c \\ b & ca & a+b+c \\ c & ab & a+b+c \end{pmatrix}$

このとき、第３列は $a+b+c$ を共通因子として持ちますから、行列式を計算する際にくくり出すことができます。

$(a+b+c)det\begin{pmatrix} a & bc & 1 \\ b & ca & 1 \\ c & ab & 1 \end{pmatrix}$

$= (a+b+c)[a(ca-ab)-bc(b-c)+1(b^2c-c^2a)] = (a+b+c)(a^2c-a^2b-b^2c+bc^2+b^2c-c^2a) = (a+b+c)(a^2c-a^2b+bc^2-c^2a) = (a+b+c)(a^2(c-b) - c^2(a-b)) = (a+b+c)(a-b)(a^2-ac-bc) = (a+b+c)(- (a-b)(b-c)(a-c)) = -(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)$

3. 最終的な答え

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