複素数 $z = 1 - \sqrt{3}i$ と $w = 1 + i$ が与えられたとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。 (1) $zw$ (2) $\frac{z}{w}$

1. 問題の内容

複素数 $z = 1 - \sqrt{3}i$ と $w = 1 + i$ が与えられたとき、以下の複素数を極形式で表す問題です。

(1) $zw$

(2) $\frac{z}{w}$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ と $w$ をそれぞれ極形式で表します。その後、$zw$ と $\frac{z}{w}$ を計算し、その結果を極形式で表します。

まず、$z$ を極形式で表します。$z = 1 - \sqrt{3}i$ の絶対値 $|z|$ と偏角 $\arg(z)$ を求めます。

$|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\arg(z) = \theta$ とすると、$\cos\theta = \frac{1}{2}$ かつ $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるので、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ となります。

したがって、$z = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))$

次に、$w$ を極形式で表します。$w = 1 + i$ の絶対値 $|w|$ と偏角 $\arg(w)$ を求めます。

$|w| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\arg(w) = \phi$ とすると、$\cos\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるので、$\phi = \frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、$w = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$

(1) $zw$ を計算します。

$zw = 2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})) \cdot \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))$

$= 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}))$

$= 2\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{12}) + i\sin(-\frac{\pi}{12}))$

(2) $\frac{z}{w}$ を計算します。

$\frac{z}{w} = \frac{2(\cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}))}{\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}))}$

$= \frac{2}{\sqrt{2}}(\cos(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}))$

$= \sqrt{2}(\cos(-\frac{7\pi}{12}) + i\sin(-\frac{7\pi}{12}))$

3. 最終的な答え

(1) $zw = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)$

(2) $\frac{z}{w} = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{7\pi}{12}\right)\right)$