3次方程式 $x^3 - 7x + 6 = 0$ を解きます。

## (1) $x^3 - 7x + 6 = 0$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 7x + 6 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項の約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を方程式に代入して、解になるものを見つけます。

$x=1$ を代入すると、 $1^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$ となり、 $x=1$ は解であることがわかります。

したがって、$x-1$ は $x^3 - 7x + 6$ の因数です。

多項式 $x^3 - 7x + 6$ を $x-1$ で割ります（組立除法または筆算を使用）。

```

x^2 + x - 6

x - 1 | x^3 + 0x^2 - 7x + 6

x^3 - x^2

-----------

x^2 - 7x

x^2 - x

-----------

-6x + 6

-6x + 6

-----------

0

```

これにより、$x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x^2 + x - 6)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 + x - 6 = 0$ を解きます。これは因数分解できます。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) = 0$

したがって、$x = -3$ または $x = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 1, -3, 2$

## (2) $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = 0$

1. 問題の内容

3次方程式 $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項の約数 $\pm 1, \pm 3$ を最高次の係数 2 で割った $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$ を方程式に代入して、解になるものを見つけます。

$x=3$ を代入すると、 $2(3)^3 - 7(3)^2 + 2(3) + 3 = 54 - 63 + 6 + 3 = 0$ となり、 $x=3$ は解であることがわかります。

したがって、$x-3$ は $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ の因数です。

多項式 $2x^3 - 7x^2 + 2x + 3$ を $x-3$ で割ります（組立除法または筆算を使用）。

```

2x^2 - x - 1

x - 3 | 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3

2x^3 - 6x^2

-----------

-x^2 + 2x

-x^2 + 3x

-----------

-x + 3

-x + 3

-----------

0

```

これにより、$2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = (x-3)(2x^2 - x - 1)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $2x^2 - x - 1 = 0$ を解きます。これは因数分解できます。

$2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1) = 0$

したがって、$x = -\frac{1}{2}$ または $x = 1$ となります。

3. 最終的な答え

$x = 3, -\frac{1}{2}, 1$

## (3) $x^3 + 5x^2 - 4 = 0$

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 5x^2 - 4 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項の約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 4$ を方程式に代入して、解になるものを見つけます。

$x=1$ を代入すると、$1^3 + 5(1)^2 - 4 = 1 + 5 - 4 = 2 \neq 0$

$x=-1$ を代入すると,$(-1)^3 + 5(-1)^2 - 4 = -1 + 5 - 4 = 0$ となり、$x=-1$ は解であることがわかります。

したがって、$x+1$ は $x^3 + 5x^2 - 4$ の因数です。

多項式 $x^3 + 5x^2 - 4$ を $x+1$ で割ります（組立除法または筆算を使用）。

```

x^2 + 4x - 4

x + 1 | x^3 + 5x^2 + 0x - 4

x^3 + x^2

-----------

4x^2 + 0x

4x^2 + 4x

-----------

-4x - 4

-4x - 4

-----------

0

```

これにより、$x^3 + 5x^2 - 4 = (x+1)(x^2 + 4x - 4)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 + 4x - 4 = 0$ を解きます。解の公式を使用します。

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$x = -1, -2 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2}$

## (4) $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$

1. 問題の内容

4次方程式 $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項の約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$ を方程式に代入して、解になるものを見つけます。

$x=2$ を代入すると、$2^4 + 2^3 - 2(2)^2 - 4(2) - 8 = 16 + 8 - 8 - 8 - 8 = 0$ となり、$x=2$ は解であることがわかります。

$x=-2$ を代入すると,$(-2)^4 + (-2)^3 - 2(-2)^2 - 4(-2) - 8 = 16 - 8 - 8 + 8 - 8 = 0$ となり,$x=-2$ も解であることがわかります。

したがって、$x-2$ と $x+2$ は $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8$ の因数です。つまり、$(x-2)(x+2) = x^2-4$ は因数です。

多項式 $x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8$ を $x^2-4$ で割ります（筆算を使用）。

```

x^2 + x + 2

x^2-4 | x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8

x^4 + 0x^3 - 4x^2

--------------------

x^3 + 2x^2 - 4x

x^3 + 0x^2 - 4x

--------------------

2x^2 + 0x - 8

2x^2 + 0x - 8

--------------------

0

```

これにより、$x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = (x^2 - 4)(x^2 + x + 2)$ と因数分解できます。

次に、2次方程式 $x^2 + x + 2 = 0$ を解きます。解の公式を使用します。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

$x = 2, -2, \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}$