3次方程式 $x^3 - 7x + 6 = 0$ を解きます。

代数学高次方程式因数分解解の公式
2025/7/9
## (1) x37x+6=0x^3 - 7x + 6 = 0

1. 問題の内容

3次方程式 x37x+6=0x^3 - 7x + 6 = 0 を解きます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項の約数 ±1,±2,±3,±6\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 を方程式に代入して、解になるものを見つけます。
x=1x=1 を代入すると、 137(1)+6=17+6=01^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 となり、 x=1x=1 は解であることがわかります。
したがって、x1x-1x37x+6x^3 - 7x + 6 の因数です。
多項式 x37x+6x^3 - 7x + 6x1x-1 で割ります(組立除法または筆算を使用)。
```
x^2 + x - 6
x - 1 | x^3 + 0x^2 - 7x + 6
x^3 - x^2
-----------
x^2 - 7x
x^2 - x
-----------
-6x + 6
-6x + 6
-----------
0
```
これにより、x37x+6=(x1)(x2+x6)x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x^2 + x - 6) と因数分解できます。
次に、2次方程式 x2+x6=0x^2 + x - 6 = 0 を解きます。これは因数分解できます。
x2+x6=(x+3)(x2)=0x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) = 0
したがって、x=3x = -3 または x=2x = 2 となります。

3. 最終的な答え

x=1,3,2x = 1, -3, 2
## (2) 2x37x2+2x+3=02x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = 0

1. 問題の内容

3次方程式 2x37x2+2x+3=02x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = 0 を解きます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項の約数 ±1,±3\pm 1, \pm 3 を最高次の係数 2 で割った ±1,±3,±12,±32\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} を方程式に代入して、解になるものを見つけます。
x=3x=3 を代入すると、 2(3)37(3)2+2(3)+3=5463+6+3=02(3)^3 - 7(3)^2 + 2(3) + 3 = 54 - 63 + 6 + 3 = 0 となり、 x=3x=3 は解であることがわかります。
したがって、x3x-32x37x2+2x+32x^3 - 7x^2 + 2x + 3 の因数です。
多項式 2x37x2+2x+32x^3 - 7x^2 + 2x + 3x3x-3 で割ります(組立除法または筆算を使用)。
```
2x^2 - x - 1
x - 3 | 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3
2x^3 - 6x^2
-----------
-x^2 + 2x
-x^2 + 3x
-----------
-x + 3
-x + 3
-----------
0
```
これにより、2x37x2+2x+3=(x3)(2x2x1)2x^3 - 7x^2 + 2x + 3 = (x-3)(2x^2 - x - 1) と因数分解できます。
次に、2次方程式 2x2x1=02x^2 - x - 1 = 0 を解きます。これは因数分解できます。
2x2x1=(2x+1)(x1)=02x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1) = 0
したがって、x=12x = -\frac{1}{2} または x=1x = 1 となります。

3. 最終的な答え

x=3,12,1x = 3, -\frac{1}{2}, 1
## (3) x3+5x24=0x^3 + 5x^2 - 4 = 0

1. 問題の内容

3次方程式 x3+5x24=0x^3 + 5x^2 - 4 = 0 を解きます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項の約数 ±1,±2,±4\pm 1, \pm 2, \pm 4 を方程式に代入して、解になるものを見つけます。
x=1x=1 を代入すると、13+5(1)24=1+54=201^3 + 5(1)^2 - 4 = 1 + 5 - 4 = 2 \neq 0
x=1x=-1 を代入すると,(1)3+5(1)24=1+54=0(-1)^3 + 5(-1)^2 - 4 = -1 + 5 - 4 = 0 となり、x=1x=-1 は解であることがわかります。
したがって、x+1x+1x3+5x24x^3 + 5x^2 - 4 の因数です。
多項式 x3+5x24x^3 + 5x^2 - 4x+1x+1 で割ります(組立除法または筆算を使用)。
```
x^2 + 4x - 4
x + 1 | x^3 + 5x^2 + 0x - 4
x^3 + x^2
-----------
4x^2 + 0x
4x^2 + 4x
-----------
-4x - 4
-4x - 4
-----------
0
```
これにより、x3+5x24=(x+1)(x2+4x4)x^3 + 5x^2 - 4 = (x+1)(x^2 + 4x - 4) と因数分解できます。
次に、2次方程式 x2+4x4=0x^2 + 4x - 4 = 0 を解きます。解の公式を使用します。
x=4±424(1)(4)2(1)=4±16+162=4±322=4±422=2±22x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{2}

3. 最終的な答え

x=1,2+22,222x = -1, -2 + 2\sqrt{2}, -2 - 2\sqrt{2}
## (4) x4+x32x24x8=0x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0

1. 問題の内容

4次方程式 x4+x32x24x8=0x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = 0 を解きます。

2. 解き方の手順

まず、整数解を探します。定数項の約数 ±1,±2,±4,±8\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 を方程式に代入して、解になるものを見つけます。
x=2x=2 を代入すると、24+232(2)24(2)8=16+8888=02^4 + 2^3 - 2(2)^2 - 4(2) - 8 = 16 + 8 - 8 - 8 - 8 = 0 となり、x=2x=2 は解であることがわかります。
x=2x=-2 を代入すると,(2)4+(2)32(2)24(2)8=1688+88=0(-2)^4 + (-2)^3 - 2(-2)^2 - 4(-2) - 8 = 16 - 8 - 8 + 8 - 8 = 0 となり,x=2x=-2 も解であることがわかります。
したがって、x2x-2x+2x+2x4+x32x24x8x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 の因数です。つまり、(x2)(x+2)=x24(x-2)(x+2) = x^2-4 は因数です。
多項式 x4+x32x24x8x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8x24x^2-4 で割ります(筆算を使用)。
```
x^2 + x + 2
x^2-4 | x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8
x^4 + 0x^3 - 4x^2
--------------------
x^3 + 2x^2 - 4x
x^3 + 0x^2 - 4x
--------------------
2x^2 + 0x - 8
2x^2 + 0x - 8
--------------------
0
```
これにより、x4+x32x24x8=(x24)(x2+x+2)x^4 + x^3 - 2x^2 - 4x - 8 = (x^2 - 4)(x^2 + x + 2) と因数分解できます。
次に、2次方程式 x2+x+2=0x^2 + x + 2 = 0 を解きます。解の公式を使用します。
x=1±124(1)(2)2(1)=1±182=1±72=1±i72x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2}

3. 最終的な答え

x=2,2,1+i72,1i72x = 2, -2, \frac{-1 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{7}}{2}