(1) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数解を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \le x \le 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

代数学二次不等式判別式二次関数不等式の解
2025/7/9
はい、承知いたしました。問題文をOCRで読み取り、内容を理解しました。以下に解答を示します。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 x2+mx+m<0x^2 + mx + m < 0 が実数解を持たないとき、定数 mm の値の範囲を求めよ。
(2) 2次不等式 x2+mx+m<0x^2 + mx + m < 0 の解が区間 0x10 \le x \le 1 を含むような定数 mm の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
2次不等式 x2+mx+m<0x^2 + mx + m < 0 が実数解を持たないとき、x2+mx+m0x^2 + mx + m \ge 0 がすべての実数 xx について成立します。つまり、x2+mx+m=0x^2 + mx + m = 0 の判別式 DDD0D \le 0 となる条件を求めます。
判別式 DD は、
D=m24(1)(m)=m24mD = m^2 - 4(1)(m) = m^2 - 4m
D0D \le 0 より、
m24m0m^2 - 4m \le 0
m(m4)0m(m-4) \le 0
したがって、0m40 \le m \le 4 となります。
(2)
f(x)=x2+mx+mf(x) = x^2 + mx + m とおきます。f(x)<0f(x) < 0 の解が区間 0x10 \le x \le 1 を含むということは、f(x)=0f(x)=0 の解が少なくとも1つ区間 0x10 \le x \le 1 の間にあるか、もしくは f(0)<0f(0) < 0かつ f(1)<0f(1) < 0 となる必要があります。
f(0)=02+m(0)+m=mf(0) = 0^2 + m(0) + m = m
f(1)=12+m(1)+m=1+2mf(1) = 1^2 + m(1) + m = 1 + 2m
f(0)<0f(0) < 0 かつ f(1)<0f(1) < 0 のとき、m<0m < 0 かつ 1+2m<01 + 2m < 0 より、m<0m < 0 かつ m<12m < -\frac{1}{2} となります。よって、m<12m < -\frac{1}{2} です。
f(x)=0f(x)=00x10 \le x \le 1 に解を持つ場合を考える。
判別式D=m24m>0D=m^2-4m > 0のとき、m<0m < 0 or 4<m4 < m
このとき、f(0)0f(0) \le 0かつ f(1)0f(1) \ge 0または、f(0)0f(0) \ge 0かつ f(1)0f(1) \le 0であればよい。
f(0)=mf(0)=mであり、f(1)=1+2mf(1)=1+2mであるので、
i) m0m \le 0かつ 1+2m01+2m \ge 0のとき、m0m \le 0かつm1/2m \ge -1/2であるので、1/2m0-1/2 \le m \le 0
ii) m0m \ge 0かつ 1+2m01+2m \le 0のとき、m0m \ge 0かつm1/2m \le -1/2なので、解なし
m<12m < -\frac{1}{2}1/2m0-1/2 \le m \le 0 を合わせると、m0m \le 0
f(x)<0f(x) < 0 の解が 0x10 \le x \le 1 を含むためには、f(0)<0f(0) < 0 または f(1)<0f(1) < 0 が成立すれば十分です。
f(0)=m<0f(0) = m < 0
f(1)=1+2m<0m<12f(1) = 1 + 2m < 0 \Leftrightarrow m < -\frac{1}{2}
m<0m < 0 を満たせば、x=0x=0の近傍でf(x)<0f(x)<0となるので条件を満たす。
m<12m < -\frac{1}{2}を満たせば、0x10 \le x \le 1の領域でf(x)<0f(x)<0となる区間が存在するので条件を満たす。
以上より、m<0m<0

3. 最終的な答え

(1) 0m40 \le m \le 4
(2) m<0m < 0