(1) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数解を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \le x \le 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文をOCRで読み取り、内容を理解しました。以下に解答を示します。

1. 問題の内容

(1) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数解を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

(2) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \le x \le 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数解を持たないとき、$x^2 + mx + m \ge 0$ がすべての実数 $x$ について成立します。つまり、$x^2 + mx + m = 0$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ となる条件を求めます。

判別式 $D$ は、

$D = m^2 - 4(1)(m) = m^2 - 4m$

$D \le 0$ より、

$m^2 - 4m \le 0$

$m(m-4) \le 0$

したがって、$0 \le m \le 4$ となります。

(2)

$f(x) = x^2 + mx + m$ とおきます。$f(x) < 0$ の解が区間 $0 \le x \le 1$ を含むということは、$f(x)=0$ の解が少なくとも１つ区間 $0 \le x \le 1$ の間にあるか、もしくは $f(0) < 0$かつ $f(1) < 0$ となる必要があります。

$f(0) = 0^2 + m(0) + m = m$

$f(1) = 1^2 + m(1) + m = 1 + 2m$

$f(0) < 0$ かつ $f(1) < 0$ のとき、$m < 0$ かつ $1 + 2m < 0$ より、$m < 0$ かつ $m < -\frac{1}{2}$ となります。よって、$m < -\frac{1}{2}$ です。

$f(x)=0$ が $0 \le x \le 1$ に解を持つ場合を考える。

判別式$D=m^2-4m > 0$のとき、$m < 0$ or $4 < m$

このとき、$f(0) \le 0$かつ $f(1) \ge 0$または、$f(0) \ge 0$かつ $f(1) \le 0$であればよい。

$f(0)=m$であり、$f(1)=1+2m$であるので、

i) $m \le 0$かつ $1+2m \ge 0$のとき、$m \le 0$かつ$m \ge -1/2$であるので、$-1/2 \le m \le 0$

ii) $m \ge 0$かつ $1+2m \le 0$のとき、$m \ge 0$かつ$m \le -1/2$なので、解なし

$m < -\frac{1}{2}$ と $-1/2 \le m \le 0$ を合わせると、$m \le 0$

$f(x) < 0$ の解が $0 \le x \le 1$ を含むためには、$f(0) < 0$ または $f(1) < 0$ が成立すれば十分です。

$f(0) = m < 0$

$f(1) = 1 + 2m < 0 \Leftrightarrow m < -\frac{1}{2}$

$m < 0$ を満たせば、$x=0$の近傍で$f(x)<0$となるので条件を満たす。

$m < -\frac{1}{2}$を満たせば、$0 \le x \le 1$の領域で$f(x)<0$となる区間が存在するので条件を満たす。

以上より、$m<0$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le m \le 4$

(2) $m < 0$