(1) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ が実数解を持たないとき、定数 $m$ の値の範囲を求めよ。 (2) 2次不等式 $x^2 + mx + m < 0$ の解が区間 $0 \le x \le 1$ を含むような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。
2025/7/9
はい、承知いたしました。問題文をOCRで読み取り、内容を理解しました。以下に解答を示します。
1. 問題の内容
(1) 2次不等式 が実数解を持たないとき、定数 の値の範囲を求めよ。
(2) 2次不等式 の解が区間 を含むような定数 の値の範囲を求めよ。
2. 解き方の手順
(1)
2次不等式 が実数解を持たないとき、 がすべての実数 について成立します。つまり、 の判別式 が となる条件を求めます。
判別式 は、
より、
したがって、 となります。
(2)
とおきます。 の解が区間 を含むということは、 の解が少なくとも1つ区間 の間にあるか、もしくは かつ となる必要があります。
かつ のとき、 かつ より、 かつ となります。よって、 です。
が に解を持つ場合を考える。
判別式のとき、 or
このとき、かつ または、かつ であればよい。
であり、であるので、
i) かつ のとき、かつであるので、
ii) かつ のとき、かつなので、解なし
と を合わせると、
の解が を含むためには、 または が成立すれば十分です。
を満たせば、の近傍でとなるので条件を満たす。
を満たせば、の領域でとなる区間が存在するので条件を満たす。
以上より、
3. 最終的な答え
(1)
(2)