ベクトル $\vec{a} = (1, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, -4)$ が与えられたとき、以下の計算をします。 (1) $3\vec{a}$ (2) $2\vec{a} - \vec{b}$ (3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (4) $|\vec{a}|$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, -4)$ が与えられたとき、以下の計算をします。

(1) $3\vec{a}$

(2) $2\vec{a} - \vec{b}$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(4) $|\vec{a}|$

2. 解き方の手順

(1) $3\vec{a}$ は、ベクトル $\vec{a}$ の各成分を3倍します。

$3\vec{a} = 3(1, 2, 1) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 2, 3 \cdot 1) = (3, 6, 3)$

(2) $2\vec{a} - \vec{b}$ は、まず $2\vec{a}$ を計算し、次にその結果から $\vec{b}$ を引きます。

$2\vec{a} = 2(1, 2, 1) = (2, 4, 2)$

$2\vec{a} - \vec{b} = (2, 4, 2) - (2, -2, -4) = (2-2, 4-(-2), 2-(-4)) = (0, 6, 6)$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ は、ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積です。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-2) + (1)(-4) = 2 - 4 - 4 = -6$

(4) $|\vec{a}|$ は、ベクトル $\vec{a}$ の大きさ（ノルム）です。

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $3\vec{a} = (3, 6, 3)$

(2) $2\vec{a} - \vec{b} = (0, 6, 6)$

(3) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$

(4) $|\vec{a}| = \sqrt{6}$