ベクトル $\vec{a} = (1, 2, 1)$ と $\vec{b} = (2, -2, -4)$ が与えられたとき、以下の計算をします。 (1) $3\vec{a}$ (2) $2\vec{a} - \vec{b}$ (3) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (4) $|\vec{a}|$

代数学ベクトルベクトルの演算内積ノルム
2025/7/9

1. 問題の内容

ベクトル a=(1,2,1)\vec{a} = (1, 2, 1)b=(2,2,4)\vec{b} = (2, -2, -4) が与えられたとき、以下の計算をします。
(1) 3a3\vec{a}
(2) 2ab2\vec{a} - \vec{b}
(3) ab\vec{a} \cdot \vec{b}
(4) a|\vec{a}|

2. 解き方の手順

(1) 3a3\vec{a} は、ベクトル a\vec{a} の各成分を3倍します。
3a=3(1,2,1)=(31,32,31)=(3,6,3)3\vec{a} = 3(1, 2, 1) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 2, 3 \cdot 1) = (3, 6, 3)
(2) 2ab2\vec{a} - \vec{b} は、まず 2a2\vec{a} を計算し、次にその結果から b\vec{b} を引きます。
2a=2(1,2,1)=(2,4,2)2\vec{a} = 2(1, 2, 1) = (2, 4, 2)
2ab=(2,4,2)(2,2,4)=(22,4(2),2(4))=(0,6,6)2\vec{a} - \vec{b} = (2, 4, 2) - (2, -2, -4) = (2-2, 4-(-2), 2-(-4)) = (0, 6, 6)
(3) ab\vec{a} \cdot \vec{b} は、ベクトル a\vec{a}b\vec{b} の内積です。
ab=(1)(2)+(2)(2)+(1)(4)=244=6\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-2) + (1)(-4) = 2 - 4 - 4 = -6
(4) a|\vec{a}| は、ベクトル a\vec{a} の大きさ(ノルム)です。
a=12+22+12=1+4+1=6|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}

3. 最終的な答え

(1) 3a=(3,6,3)3\vec{a} = (3, 6, 3)
(2) 2ab=(0,6,6)2\vec{a} - \vec{b} = (0, 6, 6)
(3) ab=6\vec{a} \cdot \vec{b} = -6
(4) a=6|\vec{a}| = \sqrt{6}

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