## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

1. $a > b$ のとき、不等式 $\frac{a+2b}{3} > \frac{a+3b}{4}$ を証明する。

2. 不等式 $4x^2 \ge 3y(4x-3y)$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

3. 不等式 $x^2 + 5y^2 \ge 4xy$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

4. $a > b > 0$ のとき、不等式 $3\sqrt{a} + 4\sqrt{b} > \sqrt{9a+16b}$ を証明する。

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2. 解き方の手順

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1. 不等式 $\frac{a+2b}{3} > \frac{a+3b}{4}$ の証明**

まず、不等式の両辺に12をかけて分母を払います。

$4(a+2b) > 3(a+3b)$

これを展開すると、

$4a + 8b > 3a + 9b$

移項して整理すると、

$a > b$

問題の条件より $a > b$ なので、上記の式は常に成り立ちます。したがって、逆をたどれば、元の不等式も成り立つことが証明できます。

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2. 不等式 $4x^2 \ge 3y(4x-3y)$ の証明**

不等式を変形します。

$4x^2 \ge 12xy - 9y^2$

移項して整理すると、

$4x^2 - 12xy + 9y^2 \ge 0$

これは $(2x-3y)^2 \ge 0$ と変形できます。実数の二乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは $2x - 3y = 0$ のとき、つまり $2x=3y$ のときです。

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3. 不等式 $x^2 + 5y^2 \ge 4xy$ の証明**

不等式を変形します。

$x^2 - 4xy + 5y^2 \ge 0$

$x^2 - 4xy + 4y^2 + y^2 \ge 0$

$(x-2y)^2 + y^2 \ge 0$

実数の二乗は常に0以上なので、この不等式は常に成り立ちます。

等号が成り立つのは $x - 2y = 0$ かつ $y = 0$ のとき、つまり $x = 0$ かつ $y = 0$ のときです。

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4. 不等式 $3\sqrt{a} + 4\sqrt{b} > \sqrt{9a+16b}$ の証明**

両辺が正なので、2乗して比較します。

$(3\sqrt{a} + 4\sqrt{b})^2 > (\sqrt{9a+16b})^2$

$9a + 24\sqrt{ab} + 16b > 9a + 16b$

$24\sqrt{ab} > 0$

$a > 0$ かつ $b > 0$ なので、$24\sqrt{ab} > 0$ は常に成り立ちます。したがって、元の不等式も成り立ちます。

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3. 最終的な答え

1. $\frac{a+2b}{3} > \frac{a+3b}{4}$ は、$a > b$ のとき成り立つ。

2. $4x^2 \ge 3y(4x-3y)$ は常に成り立ち、等号が成り立つのは $2x=3y$ のとき。

3. $x^2 + 5y^2 \ge 4xy$ は常に成り立ち、等号が成り立つのは $x=0$ かつ $y=0$ のとき。

4. $3\sqrt{a} + 4\sqrt{b} > \sqrt{9a+16b}$ は、$a > b > 0$ のとき成り立つ。