問題6：一定の速さで走る列車が、長さ320mのトンネルを通過するのに10秒、長さ220mの鉄橋を通過するのに20秒かかる。列車の長さを求める。 問題7：何人かの子供にノートを配る。1人7冊だと6冊余り、1人8冊だと1人だけ4冊より少なくなるが、少なくとも1冊は配られる。子供の人数を求める。 問題8：A,B,Cの収入の比は5:4:3、支出の比は9:8:7。Aの収支残高はCの15倍で、Bより140万円多い。3人の収入合計を求める。

1. 問題の内容

問題6：一定の速さで走る列車が、長さ320mのトンネルを通過するのに10秒、長さ220mの鉄橋を通過するのに20秒かかる。列車の長さを求める。

問題7：何人かの子供にノートを配る。1人7冊だと6冊余り、1人8冊だと1人だけ4冊より少なくなるが、少なくとも1冊は配られる。子供の人数を求める。

問題8：A,B,Cの収入の比は5:4:3、支出の比は9:8:7。Aの収支残高はCの15倍で、Bより140万円多い。3人の収入合計を求める。

2. 解き方の手順

問題6：

* 列車の速さを$v$ (m/秒)、列車の長さを$l$ (m)とおく。

* トンネル通過の場合、$320 + l = 10v$

* 鉄橋通過の場合、$220 + l = 20v$

* 2つの式から$v$を消去する。$10v = 320 + l$ より $v = \frac{320 + l}{10}$.

* これを$220 + l = 20v$に代入すると、$220 + l = 20 \times \frac{320 + l}{10} = 2(320 + l) = 640 + 2l$.

* $l = 220 - 640 + l = -420 + 2l$. ゆえに$l = 420$.

これは選択肢にないため、解き方を間違えた。

改めて:

* トンネル通過: $320 + l = 10v$

* 鉄橋通過: $220 + l = 20v$

* 上の式より $v = (320+l)/10$。下の式に代入して $220 + l = 20(320+l)/10 = 2(320+l) = 640+2l$。

* したがって、$l = 640 - 220 = 420$。これはありえない。

$20v = 220 + l$なので、$v = (220+l)/20$。

$320 + l = 10(220+l)/20$。

$320 + l = (220+l)/2$。

$640 + 2l = 220 + l$。

$l = 220 - 640 = -420$。おかしい。

式はあっているはずだが、何かがおかしい。

$20v - 10v = 220 + l - (320 + l) = -100$

$10v = -100$

$v = -10$。これもおかしい。

*鉄橋を渡る時間をトンネルを渡る時間で表現する。*

速さは一定なので $v = (320+l)/10 = (220+l)/20$.

$2(320+l) = 220 + l$.

$640 + 2l = 220 + l$.

$l = 220-640 = -420$。これは明らかにおかしい。

$320 + l$ は10秒で、$220 + l$は20秒。鉄橋のほうが時間がかかる。

速度を出すと、トンネルを抜ける速さのほうが速い。おかしい。

$v = \frac{トンネルの長さ + 電車の長さ}{トンネル通過時間} = \frac{鉄橋の長さ + 電車の長さ}{鉄橋通過時間}$。

$v = \frac{320+x}{10} = \frac{220+x}{20}$. $2(320+x)=220+x$。 $640 + 2x = 220 + x$。$x = 220-640 = -420$.

速度は同じなので $10v = 320 + x$, $20v = 220 + x$。$20v = 2(320+x) = 640 + 2x = 220 + x$.

$x = 220 - 640 = -420$.

設問を読むと、「トンネルの中に最後尾が入ってから先頭が出る」までであるため、電車がトンネルから完全に抜け出すわけではない。

また、「鉄橋を先頭が渡り始めてから最後尾が渡り終わるまで」となっている。

$x + 320 = 10v$, $x+220 = 20v$.

$2x + 640 = 220 + x$. $x = -420$.

問題7：

* 子供の人数を$n$とおく。

* 7冊ずつ配ると6冊余るから、ノートの冊数は$7n+6$。

* 8冊ずつ配ると、1人だけ4冊より少なく、少なくとも1冊は配られる。つまり、8冊配られる子供が$n-1$人いて、残りの1人には$x$冊配られる。ただし$1 \le x < 4$.

* $7n + 6 = 8(n-1) + x$.

* $7n + 6 = 8n - 8 + x$.

* $n = 14 - x$.

* $1 \le x < 4$より、$10 < n \le 13$. よって選択肢は11, 12, 13。

$x=1$のとき$n=13$.

$x=2$のとき$n=12$.

$x=3$のとき$n=11$.

よって、少なくとも11人いる。

問題8：

* 収入を$5x, 4x, 3x$とする。

* 支出を$9y, 8y, 7y$とする。

* 収支残高はそれぞれ$5x-9y, 4x-8y, 3x-7y$。

* $5x-9y = 15(3x-7y) = 45x - 105y$。

* $40x = 96y$。 $5x = 12y$。 $x = \frac{12}{5}y$.

* $5x-9y = 4x-8y + 1400000$.

* $x - y = 1400000$.

* $\frac{12}{5}y - y = \frac{7}{5}y = 1400000$. $y = 1000000$.

* $x = \frac{12}{5} (1000000) = 2400000$.

* 収入合計は$5x+4x+3x = 12x = 12(2400000) = 28800000$. つまり2880万円。

3. 最終的な答え

問題6：計算が合わないため、解けませんでした。

問題7：ウ 11人

問題8：ウ 2880万円