与えられた行列 $A$ が対角化可能かどうかを調べ、対角化可能であれば対角化せよ。ここでは、(1) の行列について解く。 行列 $A$ は次の通りである。 $A = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ が対角化可能かどうかを調べ、対角化可能であれば対角化せよ。ここでは、(1) の行列について解く。

行列 $A$ は次の通りである。

$A = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求める。固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられる。ここで、$I$ は単位行列である。

$\begin{vmatrix} 7-\lambda & -6 \\ 3 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (7-\lambda)(-2-\lambda) - (-6)(3) = 0$

$(7-\lambda)(-2-\lambda) + 18 = -14 -7\lambda +2\lambda + \lambda^2 + 18 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$

$(\lambda - 1)(\lambda - 4) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 4$ である。

固有値が異なるため、$A$ は対角化可能である。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 1$ のとき、

$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$

$\begin{bmatrix} 7-1 & -6 \\ 3 & -2-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -6 \\ 3 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$6x - 6y = 0$ より $x = y$. よって、固有ベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.

$\lambda_2 = 4$ のとき、

$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$

$\begin{bmatrix} 7-4 & -6 \\ 3 & -2-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 3 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$3x - 6y = 0$ より $x = 2y$. よって、固有ベクトル $v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.

$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = D$ となる。ここで、$D$ は対角行列で、$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$.

$P^{-1} = \frac{1}{(1)(1)-(2)(1)} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = -1 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.

$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 8 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

行列 $A$ は対角化可能であり、$P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ によって、$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$ と対角化される。