与えられた問題は以下の通りです。 [3] $x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$のとき、$x+y$と$xy$の値を求めよ。 [4] 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$を解き、$x > \text{トナ}$の形で答えよ。 [5] 方程式 $|x+2| = 5$を解け。 [6] $m, n$ は実数とする。$mn = 0$であることは、$m = 0$であるための（必要十分条件を問う問題）。選択肢が1つだけ与えられていますが、選択肢の内容は考慮せずに、この問題に必要な条件を答えます。

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の通りです。

[3] $x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$, $y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$のとき、$x+y$と$xy$の値を求めよ。

[4] 不等式 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$を解き、$x > \text{トナ}$の形で答えよ。

[5] 方程式 $|x+2| = 5$を解け。

[6] $m, n$ は実数とする。$mn = 0$であることは、$m = 0$であるための（必要十分条件を問う問題）。選択肢が1つだけ与えられていますが、選択肢の内容は考慮せずに、この問題に必要な条件を答えます。

2. 解き方の手順

[3]

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{2 - 3} = -2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$.

$y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2 - 3} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$.

次に、$x+y$を計算します。

$x+y = (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = -4\sqrt{2}$.

最後に、$xy$を計算します。

$xy = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{4}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4}{2 - 3} = \frac{4}{-1} = -4$.

[4]

与えられた不等式は$0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$です。

まず、$0.4 < 0.1x + 1$を解きます。

$-0.6 < 0.1x$

$x > -6$

次に、$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$を解きます。

$0.1x + 1 < 0.5x + 1.4$

$-0.4 < 0.4x$

$x > -1$

両方の不等式を満たすのは、$x > -1$です。

[5]

方程式 $|x+2| = 5$を解きます。

$x+2 = 5$または$x+2 = -5$

$x = 5 - 2 = 3$または$x = -5 - 2 = -7$

[6]

$mn = 0$であることは、$m = 0$であるための必要条件です。なぜなら、$mn=0$ならば、$m=0$または$n=0$が成り立つからです。$m=0$であることは、$mn=0$であるための十分条件でもあります。なぜなら、$m=0$ならば、$mn = 0 \cdot n = 0$が成り立つからです。したがって、$mn = 0$であることは、$m = 0$であるための必要十分条件です。

3. 最終的な答え

[3] $x+y = -4\sqrt{2}$, $xy = -4$

[4] $x > -1$

[5] $x = 3, -7$

[6] 必要十分条件