次の式を計算します。 $6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 16$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 16$

2. 解き方の手順

まず、それぞれのシグマを計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 16 = 16n$

これらの結果を元の式に代入します。

$6\sum_{k=1}^{n} k^2 - 6\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 16 = 6 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 6 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 16n$

$= n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1) - 16n$

$= n( (n+1)(2n+1) - 3(n+1) - 16 )$

$= n( 2n^2 + 3n + 1 - 3n - 3 - 16 )$

$= n( 2n^2 - 18 )$

$= 2n^3 - 18n$

3. 最終的な答え

$2n^3 - 18n$