与えられた4つの行列の行列式を計算する問題です。それぞれの行列を(1),(2),(3),(4)とします。

1. 問題の内容

与えられた4つの行列の行列式を計算する問題です。それぞれの行列を(1),(2),(3),(4)とします。

2. 解き方の手順

(1)

行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -3 & 1 & 5 & 4 \\ 4 & 8 & 6 & -5 \end{vmatrix}$

1行目に関して余因子展開を行うと、

$1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 4 \\ 8 & 6 & -5 \end{vmatrix} + 0 \cdot ... + 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -3 & 1 & 4 \\ 4 & 8 & -5 \end{vmatrix} -1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \\ 4 & 8 & 6 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 5 & 4 \\ 8 & 6 & -5 \end{vmatrix} = 1(-25-24)-2(-5-32)+4(6-40)=-49+74-136 = -111$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 4 \\ -3 & 1 & 4 \\ 4 & 8 & -5 \end{vmatrix} = 0(-5-32)-1(15-16)+4(-24-4) = 1-112 = -111$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \\ 4 & 8 & 6 \end{vmatrix} = 0(6-40)-1(-18-20)+2(-24-4) = 38-56 = -18$

よって、行列式は $1 \cdot (-111) + 3 \cdot (-111) -1 \cdot (-18) = -111 -333 + 18 = -426$

(2)

$\begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -1 & -2 \end{vmatrix}$

3列目で余因子展開を行うと、

$4 \begin{vmatrix} 3 & -3 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} - 8 \begin{vmatrix} 3 & -3 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 3 & -3 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{vmatrix}$

最後の行列は、3行目と4行目が比例しているので、行列式は0。

残りの2つの行列は、3行目に関して余因子展開すると、

$4[6\begin{vmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 7 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}] - 8[3\begin{vmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 7 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix}] = 24\begin{vmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 7 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} - 24\begin{vmatrix} 3 & -3 & 0 \\ 7 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0$

(3)

$\begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 4 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & 7 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -2 \end{vmatrix}$

4列目で余因子展開すると

$4 \begin{vmatrix} 0 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 4 \begin{vmatrix} 0 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}$

$A = \begin{vmatrix} 0 & 5 & 1 & 0 \\ -1 & 7 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}$を1列で展開すると$-1 \begin{vmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 8 & 6 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot 5 \cdot (-16-18) = -5(-34) = 170$

$B= \begin{vmatrix} 3 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}=3 \begin{vmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 8 & 6 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}= 3\cdot 5 \cdot (-16-18)=15(-34) = -510$

よって$4\cdot 170 - (-510) = 680 + 510 = 1190$

(4)

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & -2 & 4 \\ -3 & 6 & -2 & 4 \\ 3 & 2 & 6 & -5 \end{vmatrix}$

1列目で展開すると

$-(-3) \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 6 & -5 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 2 & 6 & -5 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 0 & -2 & 4 \\ 6 & -2 & 4 \end{vmatrix}$

$= 3 \cdot 2(8+10) - 3 \cdot 6(8+10) = 6 \cdot 18 - 18(18) = 108-324 = -216$

3. 最終的な答え

(1) -426

(2) 0

(3) 1190

(4) -216