2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 異なる2つの実数解をもつ (2) 異なる2つの正の実数解をもつ (3) 正と負の解をもつ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx - m + 6 = 0$ について、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 異なる2つの実数解をもつ

(2) 異なる2つの正の実数解をもつ

(3) 正と負の解をもつ

2. 解き方の手順

まず、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D$ は $D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

(1) 異なる2つの実数解をもつ条件は、$D > 0$ です。

この場合、$a=1$, $b=-2m$, $c=-m+6$ なので、

$D = (-2m)^2 - 4(1)(-m+6) = 4m^2 + 4m - 24$

$D > 0$ より

$4m^2 + 4m - 24 > 0$

$m^2 + m - 6 > 0$

$(m+3)(m-2) > 0$

よって、$m < -3$ または $m > 2$

(2) 異なる2つの正の実数解をもつ条件は、

(i) $D > 0$ (異なる2つの実数解をもつ)

(ii) (解の和) $> 0$

(iii) (解の積) $> 0$

です。

(i) $D > 0$ は (1) より $m < -3$ または $m > 2$ です。

(ii) 解の和は、解と係数の関係より $2m$ なので、$2m > 0$ より $m > 0$ です。

(iii) 解の積は、解と係数の関係より $-m+6$ なので、$-m+6 > 0$ より $m < 6$ です。

(i), (ii), (iii) をすべて満たす $m$ の範囲は、$2 < m < 6$ です。

(3) 正と負の解をもつ条件は、(解の積) $< 0$ です。

解の積は $-m+6$ なので、$-m+6 < 0$ より $m > 6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m < -3$ または $m > 2$

(2) $2 < m < 6$

(3) $m > 6$