2次関数 $y = x^2 + 2x$ の $-2 \leqq x \leqq 1$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2x$ の $-2 \leqq x \leqq 1$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 2x$

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1$

$y = (x + 1)^2 - 1$

したがって、

$y = (x + 1)^2 - 1$

このグラフは、頂点が $(-1, -1)$ の下に凸な放物線です。

定義域は $-2 \leqq x \leqq 1$ です。

軸は $x = -1$ なので、この範囲に含まれています。

頂点の $x$ 座標である $x = -1$ のとき最小値をとります。

$x = -1$ のとき $y = (-1 + 1)^2 - 1 = -1$

次に、最大値を求めます。定義域の端点である $x = -2$ と $x = 1$ のときの $y$ の値を比較します。

$x = -2$ のとき $y = (-2 + 1)^2 - 1 = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

$x = 1$ のとき $y = (1 + 1)^2 - 1 = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

したがって、$x = 1$ のとき最大値 $3$ をとります。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1

ウ: 1

エ: 1

オ: 3

カ: -1

キ: -1