画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。 * 3(2) $y = 3x^2 + 12x - 6$ の頂点と軸を求める。 * 4(2) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \leq x \leq 1$) の最大値と最小値を求める。 * 5(1) グラフの軸が直線 $x = 1$ で、グラフが2点 $(3, -1)$, $(0, 2)$ を通る2次関数を求める。 * 5(2) $x = -2$ で最大値6をとり、$x = 1$ で $y = -3$ となる2次関数を求める。 * 5(3) グラフが3点 $(1, 2)$, $(2, -1)$, $(3, -8)$ を通る2次関数を求める。 * 5(4) ある放物線を $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式は $y = 2x^2 - 5x + 1$ であった。もとの放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。

* 3(2) $y = 3x^2 + 12x - 6$ の頂点と軸を求める。

* 4(2) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \leq x \leq 1$) の最大値と最小値を求める。

* 5(1) グラフの軸が直線 $x = 1$ で、グラフが2点 $(3, -1)$, $(0, 2)$ を通る2次関数を求める。

* 5(2) $x = -2$ で最大値6をとり、$x = 1$ で $y = -3$ となる2次関数を求める。

* 5(3) グラフが3点 $(1, 2)$, $(2, -1)$, $(3, -8)$ を通る2次関数を求める。

* 5(4) ある放物線を $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式は $y = 2x^2 - 5x + 1$ であった。もとの放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

* 3(2) $y = 3x^2 + 12x - 6$

$y = 3(x^2 + 4x) - 6$

$y = 3(x^2 + 4x + 4 - 4) - 6$

$y = 3((x+2)^2 - 4) - 6$

$y = 3(x+2)^2 - 12 - 6$

$y = 3(x+2)^2 - 18$

頂点は $(-2, -18)$、軸は $x = -2$。

* 4(2) $y = -2x^2 - 4x + 1$ ($-2 \leq x \leq 1$)

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x+1)^2 + 3$

頂点は $(-1, 3)$。定義域 $-2 \leq x \leq 1$ で考える。

$x = -1$ のとき $y = 3$ (最大値)

$x = 1$ のとき $y = -2(1+1)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5$ (最小値)

したがって、最大値は $3$ ($x = -1$)、最小値は $-5$ ($x = 1$)。

* 5(1) グラフの軸が直線 $x = 1$ で、グラフが2点 $(3, -1)$, $(0, 2)$ を通る。

求める2次関数を $y = a(x-1)^2 + q$ とおく。

$(3, -1)$ を通るので、$-1 = a(3-1)^2 + q$ すなわち $-1 = 4a + q$。

$(0, 2)$ を通るので、 $2 = a(0-1)^2 + q$ すなわち $2 = a + q$。

2つの式を連立して解く。

$4a + q = -1$

$a + q = 2$

上の式から下の式を引くと $3a = -3$ より $a = -1$。

$q = 2 - a = 2 - (-1) = 3$。

よって $y = -(x-1)^2 + 3$。

* 5(2) $x = -2$ で最大値6をとり、$x = 1$ で $y = -3$ となる。

$x = -2$ で最大値6をとるので、求める2次関数は $y = a(x+2)^2 + 6$ と表せる。ただし、$a < 0$。

$x = 1$ で $y = -3$ となるので、$-3 = a(1+2)^2 + 6$。

$-3 = 9a + 6$

$9a = -9$

$a = -1$

よって $y = -(x+2)^2 + 6$。

* 5(3) グラフが3点 $(1, 2)$, $(2, -1)$, $(3, -8)$ を通る。

求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

$(1, 2)$ を通るので $a + b + c = 2$。

$(2, -1)$ を通るので $4a + 2b + c = -1$。

$(3, -8)$ を通るので $9a + 3b + c = -8$。

3つの式を連立して解く。

$4a + 2b + c = -1$ から $a + b + c = 2$ を引くと $3a + b = -3$。

$9a + 3b + c = -8$ から $a + b + c = 2$ を引くと $8a + 2b = -10$。

$8a + 2b = -10$ を $2$ で割ると $4a + b = -5$。

$4a + b = -5$ から $3a + b = -3$ を引くと $a = -2$。

$3(-2) + b = -3$ より $-6 + b = -3$ なので $b = 3$。

$a + b + c = 2$ より $-2 + 3 + c = 2$ なので $1 + c = 2$ より $c = 1$。

よって $y = -2x^2 + 3x + 1$。

* 5(4) ある放物線を $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したとき、移動後の放物線の方程式は $y = 2x^2 - 5x + 1$ であった。もとの放物線の方程式を求める。

移動前の放物線を $y = f(x)$ とする。

$x$軸方向に3、$y$軸方向に-2だけ平行移動すると、$y+2 = f(x-3)$。

$y = f(x-3) - 2$。

これが $y = 2x^2 - 5x + 1$ に一致するので、

$f(x-3) - 2 = 2x^2 - 5x + 1$

$f(x-3) = 2x^2 - 5x + 3$

$x-3 = t$ とおくと $x = t+3$ なので、

$f(t) = 2(t+3)^2 - 5(t+3) + 3$

$f(t) = 2(t^2 + 6t + 9) - 5t - 15 + 3$

$f(t) = 2t^2 + 12t + 18 - 5t - 12$

$f(t) = 2t^2 + 7t + 6$

したがって、求めるもとの放物線の方程式は $y = 2x^2 + 7x + 6$。

3. 最終的な答え

* 3(2) 頂点 $(-2, -18)$、軸 $x = -2$

* 4(2) 最大値 $3$ ($x = -1$)、最小値 $-5$ ($x = 1$)

* 5(1) $y = -(x-1)^2 + 3$

* 5(2) $y = -(x+2)^2 + 6$

* 5(3) $y = -2x^2 + 3x + 1$

* 5(4) $y = 2x^2 + 7x + 6$