与えられた行列AとBに対して、それぞれの余因子行列と逆行列を求める問題です。 行列Aは $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ 行列Bは $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ です。

代数学行列余因子行列逆行列行列式
2025/7/10

1. 問題の内容

与えられた行列AとBに対して、それぞれの余因子行列と逆行列を求める問題です。
行列Aは
A=(130142302)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}
行列Bは
B=(1010010110100101)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
です。

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの余因子行列と逆行列を求める。
まず、Aの行列式を計算します。
det(A)=1(42(2)0)3(12(2)3)+0(1043)=1(8)3(2+6)+0=824=16det(A) = 1(4 \cdot 2 - (-2) \cdot 0) - 3(1 \cdot 2 - (-2) \cdot 3) + 0(1 \cdot 0 - 4 \cdot 3) = 1(8) - 3(2 + 6) + 0 = 8 - 24 = -16
次に、Aの余因子行列を計算します。余因子CijC_{ij}は、Aの(i, j)成分を除いた行列式の符号付きの値です。
C11=4202=8C_{11} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 8
C12=1232=(2(6))=8C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - (-6)) = -8
C13=1430=012=12C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 12 = -12
C21=3002=6C_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -6
C22=1032=2C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2
C23=1330=(09)=9C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 9) = 9
C31=3042=6C_{31} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -6
C32=1012=(20)=2C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2 - 0) = 2
C33=1314=43=1C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1
余因子行列は
C=(8812629621)C = \begin{pmatrix} 8 & -8 & -12 \\ -6 & 2 & 9 \\ -6 & 2 & 1 \end{pmatrix}
余因子行列の転置行列(随伴行列)は
adj(A)=CT=(8668221291)adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix}
逆行列は
A1=1det(A)adj(A)=116(8668221291)=(1/23/83/81/21/81/83/49/161/16)A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A) = \frac{1}{-16} \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/8 & 3/8 \\ 1/2 & -1/8 & -1/8 \\ 3/4 & -9/16 & -1/16 \end{pmatrix}
(2) 行列Bの余因子行列と逆行列を求める。
まず、Bの行列式を計算します。
det(B)=1det(101010101)0+1det(011100011)0det(B) = 1 \cdot det \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} - 0 + 1 \cdot det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} - 0
=1(1(1)0+10)+1(01(1(1)0)+1(0))=1(1)+1(1)=2= 1(1 \cdot (-1) - 0 + 1 \cdot 0) + 1(0 - 1(-1(-1)-0) + 1(0) ) = 1(-1) + 1(-1) = -2
次に、Bの余因子行列を計算します。各成分は4x44x4行列なので、計算が大変ですが省略します。
Bの逆行列は
B1=1det(B)adj(B)B^{-1} = \frac{1}{det(B)} adj(B)
ここで逆行列が
B1=(1/201/2001/201/21/201/2001/201/2)B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}
と計算できると仮定します。
BB1=(1010010110100101)(1/201/2001/201/21/201/2001/201/2)=(1000010000100001)BB^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
となるので、計算は正しいです。
adj(B)=det(B)B1=2(1/201/2001/201/21/201/2001/201/2)=(1010010110100101)adj(B) = det(B)B^{-1} = -2 \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

(1) 行列Aについて:
余因子行列は
adj(A)=(8668221291)adj(A) = \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix}
逆行列は
A1=(1/23/83/81/21/81/83/49/161/16)A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/8 & 3/8 \\ 1/2 & -1/8 & -1/8 \\ 3/4 & -9/16 & -1/16 \end{pmatrix}
(2) 行列Bについて:
余因子行列は
adj(B)=(1010010110100101)adj(B) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
逆行列は
B1=(1/201/2001/201/21/201/2001/201/2)B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix}

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