関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax + 3a + 5$ の定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値を、定数 $a$ の値によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax + 3a + 5$ の定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値を、定数 $a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -2(x^2 - 2ax) + 3a + 5$

$f(x) = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 3a + 5$

$f(x) = -2(x - a)^2 + 2a^2 + 3a + 5$

この関数は上に凸な放物線であり、軸は $x = a$ です。定義域 $0 \le x \le 4$ における最大値を求めるために、$a$ の値によって場合分けします。

(i) $a < 0$ のとき

定義域内で $x$ が増加するほど $f(x)$ は減少するため、最大値は $x = 0$ のときにとります。

$f(0) = -2(0)^2 + 4a(0) + 3a + 5 = 3a + 5$

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき

頂点の $x$ 座標 $x = a$ が定義域内にあるため、最大値は $x = a$ のときにとります。

$f(a) = -2(a - a)^2 + 2a^2 + 3a + 5 = 2a^2 + 3a + 5$

(iii) $4 < a$ のとき

定義域内で $x$ が増加するほど $f(x)$ は増加するため、最大値は $x = 4$ のときにとります。

$f(4) = -2(4)^2 + 4a(4) + 3a + 5 = -32 + 16a + 3a + 5 = 19a - 27$

したがって、

$a < 0$ のとき、最大値は $3a+5$

$0 \le a \le 4$ のとき、最大値は $2a^2 + 3a + 5$

$4 < a$ のとき、最大値は $19a - 27$

3. 最終的な答え

オ：0

カ：3a+5 (④)

キ：4

ク：2a^2+3a+5 (⑥)

ケ：19a-27 (⑤)