関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax + 3a + 5$ の $0 \le x \le 4$ における最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 + 4ax + 3a + 5$ の $0 \le x \le 4$ における最小値を、$a$ の値の範囲によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -2(x^2 - 2ax) + 3a + 5$

$f(x) = -2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 3a + 5$

$f(x) = -2(x - a)^2 + 2a^2 + 3a + 5$

これは、頂点が $(a, 2a^2 + 3a + 5)$ の上に凸な放物線です。定義域 $0 \le x \le 4$ における最小値を考えるには、頂点の $x$ 座標である $a$ の値が定義域の範囲に対してどういう位置にあるかを考慮する必要があります。

(i) $a < 0$ のとき、定義域 $0 \le x \le 4$ において $f(x)$ は単調減少なので、$x = 4$ で最小値をとります。

$f(4) = -2(4)^2 + 4a(4) + 3a + 5 = -32 + 16a + 3a + 5 = 19a - 27$

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき、$x=0$または$x=4$で最小値を取ります。

- $a=2$のとき，$x=0$と$x=4$で同じ最小値をとります。$f(0) = 3a+5$ , $f(4)=19a-27$ なので $3a+5=19a-27$ より $16a=32$ となり、$a=2$です。このとき、$f(0)=f(4)=3(2)+5=11$です。

(iii) $a > 4$ のとき、定義域 $0 \le x \le 4$ において $f(x)$ は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$f(0) = -2(0)^2 + 4a(0) + 3a + 5 = 3a + 5$

$0 \le a \le 4$のとき,$a < 2$のときは$f(4)$で最小値をとる. $a > 2$のときは$f(0)$で最小値をとる

$a=2$ のときは $f(0) = f(4)=11$で最小値をとる。

以上より、

- $a < 2$ のとき、最小値は $19a - 27$

- $a = 2$ のとき、最小値は $11$

- $a > 2$ のとき、最小値は $3a + 5$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 19a - 27 (選択肢5)

ウ: 11 (選択肢3)

エ: 3a + 5 (選択肢4)