関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の4つの場合について考えます。 (1) $0 \le x \le 2$ (2) $-2 \le x \le 1$ (3) $-4 \le x \le -3$ (4) $-2 \le x \le 0$

代数学二次関数最大値最小値定義域
2025/7/9

1. 問題の内容

関数 y=x22x+1y = -x^2 - 2x + 1 について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の4つの場合について考えます。
(1) 0x20 \le x \le 2
(2) 2x1-2 \le x \le 1
(3) 4x3-4 \le x \le -3
(4) 2x0-2 \le x \le 0

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。
y=x22x+1=(x2+2x)+1=(x2+2x+11)+1=(x+1)2+1+1=(x+1)2+2y = -x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -(x+1)^2 + 1 + 1 = -(x+1)^2 + 2
したがって、y=(x+1)2+2y = -(x+1)^2 + 2となります。このグラフは上に凸の放物線で、頂点の座標は (1,2)(-1, 2) です。
(1) 0x20 \le x \le 2 の場合
x=0x = 0 のとき y=(0+1)2+2=1+2=1y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1
x=2x = 2 のとき y=(2+1)2+2=9+2=7y = -(2+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7
頂点のx座標 x=1x=-1 は定義域に含まれないため、定義域の端点での値を比較します。
この範囲では x=0x=0 のとき最大値 11 をとり、x=2x=2 のとき最小値 7-7 をとります。
(2) 2x1-2 \le x \le 1 の場合
頂点のx座標 x=1x=-1 はこの範囲に含まれます。
x=1x = -1 のとき y=(1+1)2+2=2y = -(-1+1)^2 + 2 = 2
x=2x = -2 のとき y=(2+1)2+2=1+2=1y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1
x=1x = 1 のとき y=(1+1)2+2=4+2=2y = -(1+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2
したがって、この範囲では x=1x=-1 のとき最大値 22 をとり、x=1x=1 のとき最小値 2-2 をとります。
(3) 4x3-4 \le x \le -3 の場合
x=3x = -3 のとき y=(3+1)2+2=4+2=2y = -(-3+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2
x=4x = -4 のとき y=(4+1)2+2=9+2=7y = -(-4+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7
頂点のx座標 x=1x=-1 はこの範囲に含まれないため、定義域の端点での値を比較します。
したがって、この範囲では x=3x=-3 のとき最大値 2-2 をとり、x=4x=-4 のとき最小値 7-7 をとります。
(4) 2x0-2 \le x \le 0 の場合
頂点のx座標 x=1x=-1 はこの範囲に含まれます。
x=1x = -1 のとき y=(1+1)2+2=2y = -(-1+1)^2 + 2 = 2
x=2x = -2 のとき y=(2+1)2+2=1+2=1y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1
x=0x = 0 のとき y=(0+1)2+2=1+2=1y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1
したがって、この範囲では x=1x=-1 のとき最大値 22 をとり、x=2,x=0x=-2, x=0 のとき最小値 11 をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 11 (x=0x=0のとき), 最小値: 7-7 (x=2x=2のとき)
(2) 最大値: 22 (x=1x=-1のとき), 最小値: 2-2 (x=1x=1のとき)
(3) 最大値: 2-2 (x=3x=-3のとき), 最小値: 7-7 (x=4x=-4のとき)
(4) 最大値: 22 (x=1x=-1のとき), 最小値: 11 (x=2,0x=-2, 0のとき)

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