関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の4つの場合について考えます。 (1) $0 \le x \le 2$ (2) $-2 \le x \le 1$ (3) $-4 \le x \le -3$ (4) $-2 \le x \le 0$
2025/7/9
1. 問題の内容
関数 について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の4つの場合について考えます。
(1)
(2)
(3)
(4)
2. 解き方の手順
まず、与えられた関数を平方完成します。
したがって、となります。このグラフは上に凸の放物線で、頂点の座標は です。
(1) の場合
のとき
のとき
頂点のx座標 は定義域に含まれないため、定義域の端点での値を比較します。
この範囲では のとき最大値 をとり、 のとき最小値 をとります。
(2) の場合
頂点のx座標 はこの範囲に含まれます。
のとき
のとき
のとき
したがって、この範囲では のとき最大値 をとり、 のとき最小値 をとります。
(3) の場合
のとき
のとき
頂点のx座標 はこの範囲に含まれないため、定義域の端点での値を比較します。
したがって、この範囲では のとき最大値 をとり、 のとき最小値 をとります。
(4) の場合
頂点のx座標 はこの範囲に含まれます。
のとき
のとき
のとき
したがって、この範囲では のとき最大値 をとり、 のとき最小値 をとります。
3. 最終的な答え
(1) 最大値: (のとき), 最小値: (のとき)
(2) 最大値: (のとき), 最小値: (のとき)
(3) 最大値: (のとき), 最小値: (のとき)
(4) 最大値: (のとき), 最小値: (のとき)