関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の4つの場合について考えます。 (1) $0 \le x \le 2$ (2) $-2 \le x \le 1$ (3) $-4 \le x \le -3$ (4) $-2 \le x \le 0$

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、指定された定義域における最大値と最小値を求める問題です。定義域は以下の4つの場合について考えます。

(1) $0 \le x \le 2$

(2) $-2 \le x \le 1$

(3) $-4 \le x \le -3$

(4) $-2 \le x \le 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 2x + 1 = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = -(x+1)^2 + 1 + 1 = -(x+1)^2 + 2$

したがって、$y = -(x+1)^2 + 2$となります。このグラフは上に凸の放物線で、頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

(1) $0 \le x \le 2$ の場合

$x = 0$ のとき $y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 2$ のとき $y = -(2+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

頂点のx座標 $x=-1$ は定義域に含まれないため、定義域の端点での値を比較します。

この範囲では $x=0$ のとき最大値 $1$ をとり、$x=2$ のとき最小値 $-7$ をとります。

(2) $-2 \le x \le 1$ の場合

頂点のx座標 $x=-1$ はこの範囲に含まれます。

$x = -1$ のとき $y = -(-1+1)^2 + 2 = 2$

$x = -2$ のとき $y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 1$ のとき $y = -(1+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

したがって、この範囲では $x=-1$ のとき最大値 $2$ をとり、$x=1$ のとき最小値 $-2$ をとります。

(3) $-4 \le x \le -3$ の場合

$x = -3$ のとき $y = -(-3+1)^2 + 2 = -4 + 2 = -2$

$x = -4$ のとき $y = -(-4+1)^2 + 2 = -9 + 2 = -7$

頂点のx座標 $x=-1$ はこの範囲に含まれないため、定義域の端点での値を比較します。

したがって、この範囲では $x=-3$ のとき最大値 $-2$ をとり、$x=-4$ のとき最小値 $-7$ をとります。

(4) $-2 \le x \le 0$ の場合

頂点のx座標 $x=-1$ はこの範囲に含まれます。

$x = -1$ のとき $y = -(-1+1)^2 + 2 = 2$

$x = -2$ のとき $y = -(-2+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

$x = 0$ のとき $y = -(0+1)^2 + 2 = -1 + 2 = 1$

したがって、この範囲では $x=-1$ のとき最大値 $2$ をとり、$x=-2, x=0$ のとき最小値 $1$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $1$ ($x=0$のとき), 最小値: $-7$ ($x=2$のとき)

(2) 最大値: $2$ ($x=-1$のとき), 最小値: $-2$ ($x=1$のとき)

(3) 最大値: $-2$ ($x=-3$のとき), 最小値: $-7$ ($x=-4$のとき)

(4) 最大値: $2$ ($x=-1$のとき), 最小値: $1$ ($x=-2, 0$のとき)