与えられた行列AとBの余因子行列と逆行列を求める問題です。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列AとBの余因子行列と逆行列を求める問題です。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列Aについて

まず、Aの余因子行列を計算します。余因子$C_{ij}$は、行列Aからi行とj列を取り除いた行列式の符号付きの値です。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 8$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(2 + 6) = -8$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 12 = -12$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -6$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2$

$C_{23} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(0 - 9) = 9$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -6$

$C_{32} = - \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1$

余因子行列は

$C = \begin{pmatrix} 8 & -8 & -12 \\ -6 & 2 & 9 \\ -6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列（随伴行列）は

$\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

次に、行列Aの行列式を計算します。

$\det(A) = 1(4 \cdot 2 - (-2) \cdot 0) - 3(1 \cdot 2 - (-2) \cdot 3) + 0(1 \cdot 0 - 4 \cdot 3) = 8 - 3(2 + 6) + 0 = 8 - 24 = -16$

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{-16} \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/8 & 3/8 \\ 1/2 & -1/8 & -1/8 \\ 3/4 & -9/16 & -1/16 \end{pmatrix}$

(2) 行列Bについて

行列Bは4x4なので、余因子行列の計算がさらに複雑になります。まずBの行列式を計算します。第1行で展開します。

$\det(B) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} - 0$

$\det(B) = 1 \cdot (1(-1-0) - 0 + 1(0-1)) + 1 \cdot (0 - 1(1-0) + 1(-1-0)) = (-1-1) + (-1-1) = -2 - 2 = -4$

余因子行列を計算します（計算過程は省略）。

$C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

随伴行列は

$\text{adj}(B) = C^T = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

逆行列は

$B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B) = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列Aについて

$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/8 & 3/8 \\ 1/2 & -1/8 & -1/8 \\ 3/4 & -9/16 & -1/16 \end{pmatrix}$

(2) 行列Bについて

$\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$