行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$、 $B = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix}$が与えられたとき、 $AX=B$、 $YA=B$ を満たす行列 $X$ および $Y$ を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$、 $B = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix}$が与えられたとき、 $AX=B$、 $YA=B$ を満たす行列 $X$ および $Y$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $AX = B$ を満たす行列 $X$ を求める。$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を左から掛けると、 $X = A^{-1}B$ となる。まず、$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$ の行列式は、 $\det(A) = 3 \times 7 - 4 \times 5 = 21 - 20 = 1$。

したがって、$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$ となる。

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \times 7 + (-4) \times 10 & 7 \times (-2) + (-4) \times (-3) \\ -5 \times 7 + 3 \times 10 & -5 \times (-2) + 3 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49 - 40 & -14 + 12 \\ -35 + 30 & 10 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$。

(2) $YA = B$ を満たす行列 $Y$ を求める。$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を右から掛けると、$Y = BA^{-1}$ となる。

$Y = BA^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \times 7 + (-2) \times (-5) & 7 \times (-4) + (-2) \times 3 \\ 10 \times 7 + (-3) \times (-5) & 10 \times (-4) + (-3) \times 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49 + 10 & -28 - 6 \\ 70 + 15 & -40 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59 & -34 \\ 85 & -49 \end{pmatrix}$。

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} 59 & -34 \\ 85 & -49 \end{pmatrix}$