(1) 大小2つの自然数があり、その和は14、大きい数は小さい数の2倍より1小さい。 大きい数を $x$ 、小さい数を $y$ として、次の問いに答える。 * $x$ と $y$ についての連立方程式を作れ。 * その連立方程式を解き、2つの自然数を求めよ。 (2) 2桁の自然数があり、その数は十の位の数と一の位の数の和の8倍より3小さい。また、十の位と一の位の数字を入れ替えてできる数は、もとの自然数より54小さい。 もとの自然数の十の位を $x$ 、一の位を $y$ として、次の問いに答える。 * $x$ と $y$ についての連立方程式を作れ。 * その連立方程式を解き、もとの2桁の自然数を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

(1) 大小2つの自然数があり、その和は14、大きい数は小さい数の2倍より1小さい。

大きい数を $x$ 、小さい数を $y$ として、次の問いに答える。

* $x$ と $y$ についての連立方程式を作れ。

* その連立方程式を解き、2つの自然数を求めよ。

(2) 2桁の自然数があり、その数は十の位の数と一の位の数の和の8倍より3小さい。また、十の位と一の位の数字を入れ替えてできる数は、もとの自然数より54小さい。

もとの自然数の十の位を $x$ 、一の位を $y$ として、次の問いに答える。

* $x$ と $y$ についての連立方程式を作れ。

* その連立方程式を解き、もとの2桁の自然数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* ① 連立方程式を作る。

* 2数の和は14なので、

$x + y = 14$

* 大きい数 $x$ は小さい数 $y$ の2倍より1小さいので、

$x = 2y - 1$

* したがって、連立方程式は以下のようになる。

$

\begin{cases}

x + y = 14 \\

x = 2y - 1

\end{cases}

$

* ② 連立方程式を解く。

* $x = 2y - 1$ を $x + y = 14$ に代入する。

$(2y - 1) + y = 14$

$3y - 1 = 14$

$3y = 15$

$y = 5$

* $y = 5$ を $x = 2y - 1$ に代入する。

$x = 2(5) - 1$

$x = 10 - 1$

$x = 9$

* したがって、$x = 9$, $y = 5$ である。

(2)

* ① 連立方程式を作る。

* 2桁の自然数は $10x + y$ と表せる。

* この数は、十の位の数と一の位の数の和の8倍より3小さいので、

$10x + y = 8(x + y) - 3$

* 十の位と一の位の数字を入れ替えた数は $10y + x$ と表せる。

* 入れ替えた数はもとの自然数より54小さいので、

$10y + x = 10x + y - 54$

* したがって、連立方程式は以下のようになる。

$

\begin{cases}

10x + y = 8(x + y) - 3 \\

10y + x = 10x + y - 54

\end{cases}

$

* 式を整理する。

$

\begin{cases}

10x + y = 8x + 8y - 3 \\

10y + x = 10x + y - 54

\end{cases}

$

$

\begin{cases}

2x - 7y = -3 \\

-9x + 9y = -54

\end{cases}

$

$

\begin{cases}

2x - 7y = -3 \\

-x + y = -6

\end{cases}

$

* ② 連立方程式を解く。

* $-x + y = -6$ より $x = y + 6$

* $x = y + 6$ を $2x - 7y = -3$ に代入する。

$2(y + 6) - 7y = -3$

$2y + 12 - 7y = -3$

$-5y = -15$

$y = 3$

* $y = 3$ を $x = y + 6$ に代入する。

$x = 3 + 6$

$x = 9$

* したがって、$x = 9$, $y = 3$ である。

* もとの2桁の自然数は $10x + y = 10(9) + 3 = 93$ である。

3. 最終的な答え

(1)

* ① 連立方程式：

$

\begin{cases}

x + y = 14 \\

x = 2y - 1

\end{cases}

$

* ② 2つの自然数：9, 5

(2)

* ① 連立方程式：

$

\begin{cases}

2x - 7y = -3 \\

-x + y = -6

\end{cases}

$

* ② もとの2桁の自然数：93