与えられた二次不等式を解き、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次不等式を解き、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + 4x + 4 > 0$

$x^2 + 4x + 4 = 0$ を解くと $(x+2)^2=0$ より $x=-2$

不等式 $x^2 + 4x + 4 > 0$ は $(x+2)^2 > 0$ となり、$x \neq -2$ のすべての実数で成立します。

よって、ア=2, イ=-2, ウ: $x \neq -2$

(2)

$x^2 - 6x + 9 \geq 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$ を解くと $(x-3)^2 = 0$ より $x = 3$

不等式 $x^2 - 6x + 9 \geq 0$ は $(x-3)^2 \geq 0$ となり、すべての実数 $x$ で成立します。

よって、エ=3, オ=3, カ: すべての実数

(3)

$x^2 + 10x + 25 \leq 0$

$x^2 + 10x + 25 = 0$ を解くと $(x+5)^2 = 0$ より $x = -5$

不等式 $x^2 + 10x + 25 \leq 0$ は $(x+5)^2 \leq 0$ となり、$x = -5$ のときのみ成立します。

よって、キ=5, ク=-5, ケ: $x=-5$

(4)

$x^2 - 16x + 64 < 0$

$x^2 - 16x + 64 = 0$ を解くと $(x-8)^2 = 0$ より $x = 8$

不等式 $x^2 - 16x + 64 < 0$ は $(x-8)^2 < 0$ となりますが、二乗された値が負になることはないので、解なしです。

よって、コ=8, サ=8, シ: 解なし

(5)

$x^2 - 3x + 4 > 0$

$x^2 - 3x + 4 = 0$ を解くと、解の公式より

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times 4}}{2 \times 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2}$

判別式 $D = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 - 16 = -7 < 0$ より、$x^2 - 3x + 4 = 0$ は実数解を持ちません。

$x^2 - 3x + 4$ は下に凸な放物線であり、実数解を持たないため、$x^2 - 3x + 4 > 0$ はすべての実数 $x$ で成立します。

よって、ス=3, セ=1, ソ=7, タ=2, チ: すべての実数

(6)

$x^2 + 4x + 6 < 0$

$x^2 + 4x + 6 = 0$ を解くと、解の公式より

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}$

判別式 $D = 4^2 - 4 \times 1 \times 6 = 16 - 24 = -8 < 0$ より、$x^2 + 4x + 6 = 0$ は実数解を持ちません。

$x^2 + 4x + 6$ は下に凸な放物線であり、実数解を持たないため、$x^2 + 4x + 6 > 0$ はすべての実数 $x$ で成立します。

したがって、$x^2 + 4x + 6 < 0$ は解なしです。

よって、テ=4, ト=1, ナ=8, ニ: 解なし

3. 最終的な答え

(1) ア=2, イ=-2, ウ: $x \neq -2$

(2) エ=3, オ=3, カ: すべての実数

(3) キ=5, ク=-5, ケ: $x=-5$

(4) コ=8, サ=8, シ: 解なし

(5) ス=3, セ=1, ソ=7, タ=2, ツ: すべての実数

(6) テ=4, ト=1, ナ=8, ヌ: 解なし