与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の余因子行列と逆行列を求める。

## 問4.12 (1) の解答

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 4 & -2 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ の余因子行列と逆行列を求める。

2. 解き方の手順

まず、各成分の余因子を計算する。

* $A_{11} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 8$

* $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - (-6)) = -8$

* $A_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 12 = -12$

* $A_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -6$

* $A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2$

* $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = -(0-9) = 9$

* $A_{31} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = -6$

* $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(-2) = 2$

* $A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1$

したがって、余因子行列は

$\tilde{A} = \begin{pmatrix} 8 & -8 & -12 \\ -6 & 2 & 9 \\ -6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

余因子行列の転置行列（すなわち、随伴行列）は

$\text{adj}(A) = \tilde{A}^T = \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

行列式を計算する。

$\det(A) = 1 \cdot (4\cdot2 - (-2)\cdot0) - 3 \cdot (1\cdot2 - (-2)\cdot3) + 0 \cdot (1\cdot0 - 4\cdot3) = 8 - 3(2+6) + 0 = 8 - 24 = -16$

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{-16} \begin{pmatrix} 8 & -6 & -6 \\ -8 & 2 & 2 \\ -12 & 9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} & -\frac{1}{8} \\ \frac{3}{4} & -\frac{9}{16} & -\frac{1}{16} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

余因子行列: $\begin{pmatrix} 8 & -8 & -12 \\ -6 & 2 & 9 \\ -6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

逆行列: $\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} & \frac{3}{8} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} & -\frac{1}{8} \\ \frac{3}{4} & -\frac{9}{16} & -\frac{1}{16} \end{pmatrix}$

## 問4.13 の解答

1. 問題の内容

$A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix}$ とするとき、$AX = B$ および $YA = B$ となる行列 $X, Y$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の逆行列を求める。

$\det(A) = (3)(7) - (4)(5) = 21 - 20 = 1$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$

$AX = B$ より、$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49 - 40 & -14 + 12 \\ -35 + 30 & 10 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$

$YA = B$ より、$Y = BA^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 10 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 49 + 10 & -28 - 6 \\ 70 + 15 & -40 - 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 59 & -34 \\ 85 & -49 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$X = \begin{pmatrix} 9 & -2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}$

$Y = \begin{pmatrix} 59 & -34 \\ 85 & -49 \end{pmatrix}$