軸が直線 $x=1$ であり、2点 $(3, -6)$, $(0, -3)$ を通る放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

軸が直線 $x=1$ であり、2点 $(3, -6)$, $(0, -3)$ を通る放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

軸が $x=1$ であることから、求める放物線の方程式は

$y=a(x-1)^2 + q$

と表せる。ここで、$a$ と $q$ は定数である。

この放物線が2点$(3, -6)$, $(0, -3)$を通るので、それぞれの座標を代入して連立方程式を立て、$a$ と $q$ を求める。

点$(3, -6)$を代入すると、

$-6 = a(3-1)^2 + q$

$-6 = 4a + q$ ...(1)

点$(0, -3)$を代入すると、

$-3 = a(0-1)^2 + q$

$-3 = a + q$ ...(2)

(1)-(2)より、

$-6 - (-3) = 4a + q - (a + q)$

$-3 = 3a$

$a = -1$

(2)に$a=-1$を代入すると、

$-3 = -1 + q$

$q = -2$

したがって、$a=-1, q=-2$ を $y = a(x-1)^2 + q$ に代入すると、

$y = -(x-1)^2 - 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1) - 2$

$y = -x^2 + 2x - 1 - 2$

$y = -x^2 + 2x - 3$

3. 最終的な答え

$y = -x^2 + 2x - 3$