$a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3$ を証明し、さらに等号が成り立つときを調べる問題です。

1. 問題の内容

$a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3$ を証明し、さらに等号が成り立つときを調べる問題です。

2. 解き方の手順

不等式の証明問題では、一般的に、左辺から右辺を引いたものが0以上であることを示すことで証明します。

まず、$a^4 + b^4 - (a^3b + ab^3)$ を計算します。

$a^4 + b^4 - a^3b - ab^3 = a^4 - a^3b - ab^3 + b^4$

次に、因数分解を行います。

$a^4 - a^3b - ab^3 + b^4 = a^3(a-b) - b^3(a-b) = (a^3 - b^3)(a-b)$

さらに因数分解を行います。

$(a^3 - b^3)(a-b) = (a-b)(a^2+ab+b^2)(a-b) = (a-b)^2(a^2+ab+b^2)$

ここで、$a^2 + ab + b^2$ について考えます。

$a^2 + ab + b^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$

$(a + \frac{1}{2}b)^2 \geq 0$ かつ $\frac{3}{4}b^2 \geq 0$ であるため、$a^2 + ab + b^2 \geq 0$ が成り立ちます。

また、$(a-b)^2 \geq 0$も成り立ちます。

したがって、 $(a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0$ が成り立ちます。

つまり、$a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3$ が証明されました。

等号が成り立つのは、 $(a-b)^2(a^2+ab+b^2) = 0$ のときです。

これは、$a-b=0$ かつ $a^2+ab+b^2=0$ のときです。

$a=b$のとき、$a^2+ab+b^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 = 0$ となるためには、$a=0$ が必要です。

したがって、$a = b = 0$のときのみ、等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a^4 + b^4 \geq a^3b + ab^3$

等号が成り立つのは、$a=b=0$ のとき。