$1 \le x \le 3$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $2x^2 + (a+1)x - 3 < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$1 \le x \le 3$ を満たすすべての $x$ に対して、不等式 $2x^2 + (a+1)x - 3 < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = 2x^2 + (a+1)x - 3$ とおく。

$1 \le x \le 3$ の範囲で $f(x) < 0$ が常に成り立つための $a$ の範囲を求める。

$f(x) = 0$ を満たす $x$ を求める。

$2x^2 + (a+1)x - 3 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{(a+1)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{a^2 + 2a + 1 + 24}}{4} = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{a^2 + 2a + 25}}{4}$

$f(1) = 2 + (a+1) - 3 = a > 0$

$f(3) = 2(9) + 3(a+1) - 3 = 18 + 3a + 3 - 3 = 18 + 3a > 0 \implies 3a > -18 \implies a > -6$

$f(1) = 2(1)^2 + (a+1)(1) - 3 = 2 + a + 1 - 3 = a < 0$

$f(3) = 2(3)^2 + (a+1)(3) - 3 = 18 + 3a + 3 - 3 = 18 + 3a < 0$

$3a < -18$

$a < -6$

$f(1) < 0$ かつ $f(3) < 0$ であればよい。

$f(1) = 2 + a + 1 - 3 = a < 0$

$f(3) = 18 + 3a + 3 - 3 = 18 + 3a < 0$

$3a < -18$

$a < -6$

$y = 2x^2 + (a+1)x - 3$のグラフは下に凸の放物線である。

$1 \le x \le 3$ の範囲で $f(x) < 0$ が成り立つためには、$f(1) < 0$ かつ $f(3) < 0$ が必要十分条件である。

$f(1) = 2(1)^2 + (a+1)(1) - 3 = 2 + a + 1 - 3 = a < 0$

$f(3) = 2(3)^2 + (a+1)(3) - 3 = 18 + 3a + 3 - 3 = 18 + 3a < 0 \implies 3a < -18 \implies a < -6$

したがって、$a < -6$ である。

3. 最終的な答え

$a < -6$